Theorem isubgr3stgrlem9 47876

Description: Lemma 9 for isubgr3stgr 47877. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isubgr3stgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c	⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s	⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
isubgr3stgr.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
isubgr3stgr.i	⊢ 𝐼 = (Edg‘(𝐺 ISubGr 𝐶))
isubgr3stgr.h	⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 “ 𝑖))

Assertion

Ref	Expression
isubgr3stgrlem9	⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) → (𝐻:𝐼–1-1-onto→(Edg‘(StarGr‘𝑁)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐻‘𝑒)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑊   𝑖,𝐸,𝑥,𝑦   𝑒,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁,𝑒   𝑈,𝑖,𝑥,𝑦   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝐼   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋   𝐶,𝑒   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒,𝑥,𝑦   𝑒,𝑉   𝑒,𝑊   𝑒,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑒,𝑖)   𝐼(𝑥,𝑒)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isubgr3stgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isubgr3stgr.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
3		isubgr3stgr.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
4		isubgr3stgr.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
5		isubgr3stgr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
6		isubgr3stgr.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
7		isubgr3stgr.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
8		isubgr3stgr.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Edg‘(𝐺 ISubGr 𝐶))
9		isubgr3stgr.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹 “ 𝑖))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isubgr3stgrlem8 47875	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) → 𝐻:𝐼–1-1-onto→(Edg‘(StarGr‘𝑁)))
11		f1of 6848	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 → 𝐹:𝐶⟶𝑊)
12	11	ad2antrl 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) → 𝐹:𝐶⟶𝑊)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	isubgr3stgrlem5 47872	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝑊 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑒) = (𝐹 “ 𝑒))
14	13	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝑊 ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐻‘𝑒))
15	12, 14	sylan 580	. . 3 ⊢ (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐼) → (𝐹 “ 𝑒) = (𝐻‘𝑒))
16	15	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) → ∀𝑒 ∈ 𝐼 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐻‘𝑒))
17	10, 16	jca 511	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝑊 ∧ (𝐹‘𝑋) = 0)) → (𝐻:𝐼–1-1-onto→(Edg‘(StarGr‘𝑁)) ∧ ∀𝑒 ∈ 𝐼 (𝐹 “ 𝑒) = (𝐻‘𝑒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ∉ wnel 3043  ∀wral 3058  {cpr 4632   ↦ cmpt 5230   “ cima 5691  ⟶wf 6558  –1-1-onto→wf1o 6561  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  ℕ₀cn0 12523  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29027  Edgcedg 29078  USGraphcusgr 29180   NeighbVtx cnbgr 29363   ClNeighbVtx cclnbgr 47742   ISubGr cisubgr 47783  StarGrcstgr 47853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-edgf 29018  df-vtx 29029  df-iedg 29030  df-edg 29079  df-uhgr 29089  df-upgr 29113  df-umgr 29114  df-uspgr 29181  df-usgr 29182  df-nbgr 29364  df-clnbgr 47743  df-isubgr 47784  df-stgr 47854

This theorem is referenced by:  isubgr3stgr  47877