Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isubgr3stgrlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isubgr3stgrlem8 47940
Description: Lemma 8 for isubgr3stgr 47942. (Contributed by AV, 29-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isubgr3stgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isubgr3stgr.u 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.c 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
isubgr3stgr.n 𝑁 ∈ ℕ0
isubgr3stgr.s 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
isubgr3stgr.w 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
isubgr3stgr.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
isubgr3stgr.i 𝐼 = (Edg‘(𝐺 ISubGr 𝐶))
isubgr3stgr.h 𝐻 = (𝑖𝐼 ↦ (𝐹𝑖))
Assertion
Ref Expression
isubgr3stgrlem8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐻:𝐼1-1-onto→(Edg‘(StarGr‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑊   𝑖,𝐸,𝑥,𝑦   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑥,𝑦   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺   𝑦,𝐼   𝑦,𝑁   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑖)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isubgr3stgrlem8
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isubgr3stgr.h . . 3 𝐻 = (𝑖𝐼 ↦ (𝐹𝑖))
2 imaeq2 6074 . . . 4 (𝑖 = 𝑘 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑘))
32cbvmptv 5255 . . 3 (𝑖𝐼 ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘))
41, 3eqtri 2765 . 2 𝐻 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘))
5 f1of 6848 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹:𝐶𝑊)
65ad2antrl 728 . . . 4 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐹:𝐶𝑊)
7 isubgr3stgr.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 isubgr3stgr.u . . . . 5 𝑈 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
9 isubgr3stgr.c . . . . 5 𝐶 = (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋)
10 isubgr3stgr.n . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
11 isubgr3stgr.s . . . . 5 𝑆 = (StarGr‘𝑁)
12 isubgr3stgr.w . . . . 5 𝑊 = (Vtx‘𝑆)
13 isubgr3stgr.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14 isubgr3stgr.i . . . . 5 𝐼 = (Edg‘(𝐺 ISubGr 𝐶))
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1isubgr3stgrlem5 47937 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝑊𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) = (𝐹𝑘))
166, 15sylan 580 . . 3 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) = (𝐹𝑘))
177, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1isubgr3stgrlem6 47938 . . . 4 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐻:𝐼⟶(Edg‘(StarGr‘𝑁)))
1817ffvelcdmda 7104 . . 3 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
1916, 18eqeltrrd 2842 . 2 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
207, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 1isubgr3stgrlem7 47939 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) ∧ 𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐼)
2120ad4ant134 1175 . 2 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ 𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝐼)
22 f1ofo 6855 . . . . . 6 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹:𝐶onto𝑊)
2322ad2antrl 728 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐹:𝐶onto𝑊)
24 stgrusgra 47926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (StarGr‘𝑁) ∈ USGraph)
2510, 24mp1i 13 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → (StarGr‘𝑁) ∈ USGraph)
26 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁))) → 𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))
2711fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
2812, 27eqtri 2765 . . . . . . . 8 𝑊 = (Vtx‘(StarGr‘𝑁))
29 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Edg‘(StarGr‘𝑁)) = (Edg‘(StarGr‘𝑁))
3028, 29edgssv2 29215 . . . . . . 7 (((StarGr‘𝑁) ∈ USGraph ∧ 𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁))) → (𝑗𝑊 ∧ (♯‘𝑗) = 2))
3130simpld 494 . . . . . 6 (((StarGr‘𝑁) ∈ USGraph ∧ 𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁))) → 𝑗𝑊)
3225, 26, 31syl2an 596 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) → 𝑗𝑊)
33 foimacnv 6865 . . . . 5 ((𝐹:𝐶onto𝑊𝑗𝑊) → (𝐹 “ (𝐹𝑗)) = 𝑗)
3423, 32, 33syl2an2r 685 . . . 4 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) → (𝐹 “ (𝐹𝑗)) = 𝑗)
35 imaeq2 6074 . . . . 5 (𝑘 = (𝐹𝑗) → (𝐹𝑘) = (𝐹 “ (𝐹𝑗)))
3635eqcomd 2743 . . . 4 (𝑘 = (𝐹𝑗) → (𝐹 “ (𝐹𝑗)) = (𝐹𝑘))
3734, 36sylan9req 2798 . . 3 ((((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) ∧ 𝑘 = (𝐹𝑗)) → 𝑗 = (𝐹𝑘))
38 imaeq2 6074 . . . . 5 (𝑗 = (𝐹𝑘) → (𝐹𝑗) = (𝐹 “ (𝐹𝑘)))
39 f1of1 6847 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊𝐹:𝐶1-1𝑊)
4039ad2antrl 728 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐹:𝐶1-1𝑊)
41 usgruhgr 29203 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
437clnbgrssvtx 47818 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ClNeighbVtx 𝑋) ⊆ 𝑉
449, 43eqsstri 4030 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑉
4544a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0) → 𝐶𝑉)
46 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
47 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ISubGr 𝐶) = (𝐺 ISubGr 𝐶)
487, 46, 47, 14isubgredg 47852 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐶𝑉) → (𝑘𝐼 ↔ (𝑘 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑘𝐶)))
4942, 45, 48syl2an 596 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → (𝑘𝐼 ↔ (𝑘 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑘𝐶)))
50 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑘𝐶) → 𝑘𝐶)
5150a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) → 𝑘𝐶))
5249, 51biimtrdi 253 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → (𝑘𝐼 → (𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)) → 𝑘𝐶)))
5352imp32 418 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) → 𝑘𝐶)
54 f1imacnv 6864 . . . . . 6 ((𝐹:𝐶1-1𝑊𝑘𝐶) → (𝐹 “ (𝐹𝑘)) = 𝑘)
5540, 53, 54syl2an2r 685 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) → (𝐹 “ (𝐹𝑘)) = 𝑘)
5638, 55sylan9eqr 2799 . . . 4 ((((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) ∧ 𝑗 = (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑗) = 𝑘)
5756eqcomd 2743 . . 3 ((((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) ∧ 𝑗 = (𝐹𝑘)) → 𝑘 = (𝐹𝑗))
5837, 57impbida 801 . 2 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) ∧ (𝑘𝐼𝑗 ∈ (Edg‘(StarGr‘𝑁)))) → (𝑘 = (𝐹𝑗) ↔ 𝑗 = (𝐹𝑘)))
594, 19, 21, 58f1o2d 7687 1 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ ((♯‘𝑈) = 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∉ 𝐸)) ∧ (𝐹:𝐶1-1-onto𝑊 ∧ (𝐹𝑋) = 0)) → 𝐻:𝐼1-1-onto→(Edg‘(StarGr‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  wss 3951  {cpr 4628  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  2c2 12321  0cn0 12526  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UHGraphcuhgr 29073  USGraphcusgr 29166   NeighbVtx cnbgr 29349   ClNeighbVtx cclnbgr 47805   ISubGr cisubgr 47846  StarGrcstgr 47918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-uspgr 29167  df-usgr 29168  df-nbgr 29350  df-clnbgr 47806  df-isubgr 47847  df-stgr 47919
This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem9  47941
  Copyright terms: Public domain W3C validator