MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsup 15739
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsup.2 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsup.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isumsup (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsup.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumsup.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumsup.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 11190 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumsup.2 . . 3 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
7 isumsup.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
8 isumsup.7 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
91, 6, 2, 3, 4, 7, 8isumsup2 15738 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
106, 9eqbrtrrid 5146 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
111, 2, 3, 5, 10isumclim 15649 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074   class class class wbr 5110  ran crn 5639  cfv 6501  supcsup 9383  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cz 12506  cuz 12770  seqcseq 13913  cli 15373  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  prmreclem6  16800  ovoliunlem1  24882  ovoliun2  24886
  Copyright terms: Public domain W3C validator