MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumsup 15833
Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumsup.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumsup.2 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumsup.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
Assertion
Ref Expression
isumsup (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup
StepHypRef Expression
1 isumsup.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumsup.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumsup.4 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumsup.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 11280 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumsup.2 . . 3 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
7 isumsup.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
8 isumsup.7 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗𝑍 (𝐺𝑗) ≤ 𝑥)
91, 6, 2, 3, 4, 7, 8isumsup2 15832 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
106, 9eqbrtrrid 5188 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
111, 2, 3, 5, 10isumclim 15743 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5152  ran crn 5683  cfv 6553  supcsup 9471  cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   < clt 11286  cle 11287  cz 12596  cuz 12860  seqcseq 14006  cli 15468  Σcsu 15672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673
This theorem is referenced by:  prmreclem6  16897  ovoliunlem1  25451  ovoliun2  25455
  Copyright terms: Public domain W3C validator