Theorem isumsup 15796

Description: An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumsup.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumsup.2	⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
isumsup.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumsup.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumsup.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumsup.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
isumsup.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
isumsup	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem isumsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumsup.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumsup.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumsup.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumsup.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11243	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		isumsup.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
7		isumsup.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐴)
8		isumsup.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝑍 (𝐺‘𝑗) ≤ 𝑥)
9	1, 6, 2, 3, 4, 7, 8	isumsup2 15795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
10	6, 9	eqbrtrrid 5177	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ sup(ran 𝐺, ℝ, < ))
11	1, 2, 3, 5, 10	isumclim 15706	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = sup(ran 𝐺, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ran crn 5670  ‘cfv 6536  supcsup 9434  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  seqcseq 13969   ⇝ cli 15431  Σcsu 15635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636

This theorem is referenced by:  prmreclem6  16860  ovoliunlem1  25381  ovoliun2  25385