MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumltss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumltss 15412
Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isumltss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumltss.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumltss.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumltss.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumltss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumltss.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumltss.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzinf 13538 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5 ssdif0 4278 . . . . 5 (𝑍𝐴 ↔ (𝑍𝐴) = ∅)
6 isumltss.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑍)
7 eqss 3916 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴𝑍𝑍𝐴))
8 isumltss.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
108, 9syl5ibcom 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑍𝑍 ∈ Fin))
117, 10syl5bir 246 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑍𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
126, 11mpand 695 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝐴𝑍 ∈ Fin))
135, 12syl5bir 246 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
144, 13mtod 201 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍𝐴) = ∅)
15 neq0 4260 . . 3 (¬ (𝑍𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
1614, 15sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
178adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
186adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴𝑍)
1918sselda 3901 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
20 isumltss.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2120adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2221rpred 12628 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2319, 22syldan 594 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15298 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25 snfi 8721 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
26 unfi 8850 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2717, 25, 26sylancl 589 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28 eldifi 4041 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝑥𝑍)
2928snssd 4722 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
306, 29anim12i 616 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31 unss 4098 . . . . . . 7 ((𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3230, 31sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3332sselda 3901 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘𝑍)
3433, 22syldan 594 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
3527, 34fsumrecl 15298 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
361adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37 isumltss.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
3837adantlr 715 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
39 isumltss.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4039adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
412, 36, 38, 22, 40isumrecl 15329 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
4225a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43 vex 3412 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
4443snnz 4692 . . . . . . 7 {𝑥} ≠ ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
4629adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
4746sselda 3901 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘𝑍)
4847, 21syldan 594 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4942, 45, 48fsumrpcl 15301 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
5024, 49ltaddrpd 12661 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51 eldifn 4042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
5251adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
53 disjsn 4627 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝐴)
5452, 53sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
5621rpcnd 12630 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5733, 56syldan 594 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5854, 55, 27, 57fsumsplit 15305 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
5950, 58breqtrrd 5081 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
6021rpge0d 12632 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
612, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40isumless 15409 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
6224, 35, 41, 59, 61ltletrd 10992 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
6316, 62exlimddv 1943 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  wne 2940  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  {csn 4541   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  cc 10727  cr 10728   + caddc 10732   < clt 10867  cz 12176  cuz 12438  +crp 12586  seqcseq 13574  cli 15045  Σcsu 15249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator