Theorem isumltss 15814

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumltss.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
isumltss.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isumltss.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumltss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumltss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzinf 13930	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5		ssdif0 4329	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
6		isumltss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		eqss 3962	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		isumltss.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
10	8, 9	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑍 → 𝑍 ∈ Fin))
11	7, 10	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
12	6, 11	mpand 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ 𝐴 → 𝑍 ∈ Fin))
13	5, 12	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
14	4, 13	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
15		neq0 4315	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
16	14, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
17	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		isumltss.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12995	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	19, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25		snfi 9014	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
26		unfi 9135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
27	17, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28		eldifi 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑍)
29	28	snssd 4773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
30	6, 29	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31		unss 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
33	32	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	27, 34	fsumrecl 15700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
36	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37		isumltss.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
38	37	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
39		isumltss.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 15731	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
42	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	snnz 4740	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
46	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
47	46	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	47, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
49	42, 45, 48	fsumrpcl 15703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
50	24, 49	ltaddrpd 13028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51		eldifn 4095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
53		disjsn 4675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
54	52, 53	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
56	21	rpcnd 12997	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
57	33, 56	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 15707	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
59	50, 58	breqtrrd 5135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
60	21	rpge0d 12999	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 15811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 11334	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
63	16, 62	exlimddv 1935	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071   < clt 11208  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  seqcseq 13966   ⇝ cli 15450  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653

This theorem is referenced by: (None)