Theorem isumltss 15040

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumltss.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
isumltss.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isumltss.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumltss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumltss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzinf 13187	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5		ssdif0 4249	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
6		isumltss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		eqss 3910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		isumltss.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		eleq1 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
10	8, 9	syl5ibcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑍 → 𝑍 ∈ Fin))
11	7, 10	syl5bir 244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
12	6, 11	mpand 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ 𝐴 → 𝑍 ∈ Fin))
13	5, 12	syl5bir 244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
14	4, 13	mtod 199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
15		neq0 4235	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
16	14, 15	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
17	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	sselda 3895	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		isumltss.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12285	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	19, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 14928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25		snfi 8449	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
26		unfi 8638	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
27	17, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28		eldifi 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑍)
29	28	snssd 4655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
30	6, 29	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31		unss 4087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
32	30, 31	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
33	32	sselda 3895	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	27, 34	fsumrecl 14928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
36	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37		isumltss.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
38	37	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
39		isumltss.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	39	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 14957	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
42	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43		vex 3443	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	snnz 4624	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
46	29	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
47	46	sselda 3895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	47, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
49	42, 45, 48	fsumrpcl 14931	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
50	24, 49	ltaddrpd 12318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51		eldifn 4031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
52	51	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
53		disjsn 4560	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
54	52, 53	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55		eqidd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
56	21	rpcnd 12287	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
57	33, 56	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 14934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
59	50, 58	breqtrrd 4996	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
60	21	rpge0d 12289	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 15037	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 10653	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
63	16, 62	exlimddv 1917	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525  ∃wex 1765   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986   ∖ cdif 3862   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  ∅c0 4217  {csn 4478   class class class wbr 4968  dom cdm 5450  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Fincfn 8364  ℂcc 10388  ℝcr 10389   + caddc 10393   < clt 10528  ℤcz 11835  ℤ_≥cuz 12097  ℝ⁺crp 12243  seqcseq 13223   ⇝ cli 14679  Σcsu 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881

This theorem is referenced by: (None)