Theorem isumltss 15896

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumltss.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
isumltss.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isumltss.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumltss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumltss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzinf 14016	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5		ssdif0 4389	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
6		isumltss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		eqss 4024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		isumltss.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		eleq1 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
10	8, 9	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑍 → 𝑍 ∈ Fin))
11	7, 10	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
12	6, 11	mpand 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ 𝐴 → 𝑍 ∈ Fin))
13	5, 12	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
14	4, 13	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
15		neq0 4375	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
16	14, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
17	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	sselda 4008	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		isumltss.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13099	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	19, 22	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25		snfi 9109	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
26		unfi 9238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
27	17, 25, 26	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28		eldifi 4154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑍)
29	28	snssd 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
30	6, 29	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31		unss 4213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
33	32	sselda 4008	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 22	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	27, 34	fsumrecl 15782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
36	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37		isumltss.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
38	37	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
39		isumltss.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 15813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
42	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43		vex 3492	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	snnz 4801	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
46	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
47	46	sselda 4008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	47, 21	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
49	42, 45, 48	fsumrpcl 15785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
50	24, 49	ltaddrpd 13132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51		eldifn 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
53		disjsn 4736	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
54	52, 53	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
56	21	rpcnd 13101	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
57	33, 56	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 15789	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
59	50, 58	breqtrrd 5194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
60	21	rpge0d 13103	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 15893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 11450	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
63	16, 62	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   < clt 11324  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  seqcseq 14052   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735

This theorem is referenced by: (None)