MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumltss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumltss 15740
Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isumltss.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumltss.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumltss.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumltss.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumltss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumltss.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 isumltss.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzinf 13877 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5 ssdif0 4328 . . . . 5 (𝑍𝐴 ↔ (𝑍𝐴) = ∅)
6 isumltss.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑍)
7 eqss 3964 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴𝑍𝑍𝐴))
8 isumltss.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
9 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
108, 9syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑍𝑍 ∈ Fin))
117, 10biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝑍𝑍𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
126, 11mpand 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝐴𝑍 ∈ Fin))
135, 12biimtrrid 242 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
144, 13mtod 197 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑍𝐴) = ∅)
15 neq0 4310 . . 3 (¬ (𝑍𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
1614, 15sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍𝐴))
178adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
186adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝐴𝑍)
1918sselda 3949 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
20 isumltss.6 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2120adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
2221rpred 12964 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2319, 22syldan 592 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15626 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25 snfi 8995 . . . . 5 {𝑥} ∈ Fin
26 unfi 9123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
2717, 25, 26sylancl 587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28 eldifi 4091 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝑥𝑍)
2928snssd 4774 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
306, 29anim12i 614 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31 unss 4149 . . . . . . 7 ((𝐴𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3230, 31sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
3332sselda 3949 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘𝑍)
3433, 22syldan 592 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
3527, 34fsumrecl 15626 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
361adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37 isumltss.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
3837adantlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
39 isumltss.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4039adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
412, 36, 38, 22, 40isumrecl 15657 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
4225a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43 vex 3452 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
4443snnz 4742 . . . . . . 7 {𝑥} ≠ ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
4629adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
4746sselda 3949 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘𝑍)
4847, 21syldan 592 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4942, 45, 48fsumrpcl 15629 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
5024, 49ltaddrpd 12997 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51 eldifn 4092 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
5251adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
53 disjsn 4677 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥𝐴)
5452, 53sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
5621rpcnd 12966 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
5733, 56syldan 592 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
5854, 55, 27, 57fsumsplit 15633 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
5950, 58breqtrrd 5138 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
6021rpge0d 12968 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) ∧ 𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
612, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40isumless 15737 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
6224, 35, 41, 59, 61ltletrd 11322 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑍𝐴)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
6316, 62exlimddv 1939 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  cdif 3912  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cc 11056  cr 11057   + caddc 11061   < clt 11196  cz 12506  cuz 12770  +crp 12922  seqcseq 13913  cli 15373  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator