Theorem isumltss 15757

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumltss.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
isumltss.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isumltss.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumltss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumltss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzinf 13874	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5		ssdif0 4315	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
6		isumltss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		eqss 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		isumltss.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		eleq1 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
10	8, 9	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑍 → 𝑍 ∈ Fin))
11	7, 10	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
12	6, 11	mpand 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ 𝐴 → 𝑍 ∈ Fin))
13	5, 12	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
14	4, 13	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
15		neq0 4301	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
16	14, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
17	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		isumltss.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 12936	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	19, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25		snfi 8972	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
26		unfi 9087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
27	17, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28		eldifi 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑍)
29	28	snssd 4760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
30	6, 29	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31		unss 4139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
33	32	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	27, 34	fsumrecl 15643	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
36	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37		isumltss.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
38	37	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
39		isumltss.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 15674	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
42	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43		vex 3441	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	snnz 4728	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
46	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
47	46	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	47, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
49	42, 45, 48	fsumrpcl 15646	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
50	24, 49	ltaddrpd 12969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51		eldifn 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
53		disjsn 4663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
54	52, 53	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
56	21	rpcnd 12938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
57	33, 56	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 15650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
59	50, 58	breqtrrd 5121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
60	21	rpge0d 12940	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 15754	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 11280	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
63	16, 62	exlimddv 1936	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  ℂcc 11011  ℝcr 11012   + caddc 11016   < clt 11153  ℤcz 12475  ℤ_≥cuz 12738  ℝ⁺crp 12892  seqcseq 13910   ⇝ cli 15393  Σcsu 15595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596

This theorem is referenced by: (None)