Theorem isumltss 15885

Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumltss.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumltss.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumltss.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
isumltss.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
isumltss.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
isumltss.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
isumltss.7	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isumltss	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumltss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumltss.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		isumltss.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	uzinf 14007	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ Fin)
5		ssdif0 4365	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
6		isumltss.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		eqss 3998	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝑍 ↔ (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴))
8		isumltss.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
9		eleq1 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑍 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝑍 ∈ Fin))
10	8, 9	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑍 → 𝑍 ∈ Fin))
11	7, 10	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → 𝑍 ∈ Fin))
12	6, 11	mpand 695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ⊆ 𝐴 → 𝑍 ∈ Fin))
13	5, 12	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ → 𝑍 ∈ Fin))
14	4, 13	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅)
15		neq0 4351	. . 3 ⊢ (¬ (𝑍 ∖ 𝐴) = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
16	14, 15	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴))
17	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
18	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝑍)
19	18	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20		isumltss.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
21	20	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13078	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
23	19, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
25		snfi 9084	. . . . 5 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
26		unfi 9212	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
27	17, 25, 26	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ∈ Fin)
28		eldifi 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑍)
29	28	snssd 4808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
30	6, 29	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍))
31		unss 4189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑍 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑍) ↔ (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
32	30, 31	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) ⊆ 𝑍)
33	32	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	33, 22	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	27, 34	fsumrecl 15771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ∈ ℝ)
36	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → 𝑀 ∈ ℤ)
37		isumltss.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
38	37	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
39		isumltss.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	2, 36, 38, 22, 40	isumrecl 15802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
42	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ∈ Fin)
43		vex 3483	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
44	43	snnz 4775	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥} ≠ ∅
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ≠ ∅)
46	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → {𝑥} ⊆ 𝑍)
47	46	sselda 3982	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝑍)
48	47, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥}) → 𝐵 ∈ ℝ+)
49	42, 45, 48	fsumrpcl 15774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵 ∈ ℝ+)
50	24, 49	ltaddrpd 13111	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
51		eldifn 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
53		disjsn 4710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
54	52, 53	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑥}) = ∅)
55		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∪ {𝑥}) = (𝐴 ∪ {𝑥}))
56	21	rpcnd 13080	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
57	33, 56	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})) → 𝐵 ∈ ℂ)
58	54, 55, 27, 57	fsumsplit 15778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑥}𝐵))
59	50, 58	breqtrrd 5170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵)
60	21	rpge0d 13082	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
61	2, 36, 27, 32, 38, 22, 60, 40	isumless 15882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑥})𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
62	24, 35, 41, 59, 61	ltletrd 11422	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍 ∖ 𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)
63	16, 62	exlimddv 1934	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℂcc 11154  ℝcr 11155   + caddc 11159   < clt 11296  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035  seqcseq 14043   ⇝ cli 15521  Σcsu 15723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724

This theorem is referenced by: (None)