Theorem ker2idl 21512

Description: The kernel of a ring homomorphism is a two-sided ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 3-Jan-2011.) (Revised by AV, 24-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ker2idl.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
ker2idl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ker2idl	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem ker2idl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
2		ker2idl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
3	1, 2	kerlidl 21511	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		rhmopp 20698	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)))
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
7	6, 2	oppr0 20518	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑆))
8	5, 7	kerlidl 21511	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
9	4, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11		ker2idl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
12	1, 10, 5, 11	2idlelb 21485	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝐼 ↔ ((◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
13	3, 9, 12	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (◡𝐹 “ { 0 }) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0_gc0g 17549  opp_rcoppr 20505   RingHom crh 20638  LIdealclidl 21423  2Idealc2idl 21481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-0g 17551  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-rhm 20641  df-subrg 20761  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-lidl 21425  df-2idl 21482

This theorem is used by: (None)