Theorem qusmul2idl 21204

Description: Value of the ring operation in a quotient ring by a two-sided ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2idl.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2idl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2idl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmul2idl.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmul2idl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qusmul2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2idl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmul2idl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmul2idl	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2idl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2idl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		qusmul2idl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		qusmul2idl.h	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5		qusmul2idl.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		qusmul2idl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		qusmul2idl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	10	lidlsubg 21148	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12	7, 9, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	5, 13	eqger 19075	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17		qusmul2idl.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 21197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
19	7, 8, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
20	5, 17	ringcl 20153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
22	7, 21	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
23	22	caovclg 7545	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24		qusmul2idl.a	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑄)
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 17477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
26	1, 2, 25	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   Er wer 8629  [cec 8630  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180   /_s cqus 17427  SubGrpcsubg 19017   ~_QG cqg 19019  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21131  2Idealc2idl 21174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-0g 17363  df-imas 17430  df-qus 17431  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-eqg 19022  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-2idl 21175

This theorem is referenced by:  qusmulcrng  21209  opprqusmulr  33438  qsdrngilem  33441  qsdrnglem2  33443