MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmul2idl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmul2idl 21290
Description: Value of the ring operation in a quotient ring by a two-sided ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
qusmul2idl.h 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2idl.v 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2idl.p · = (.r𝑅)
qusmul2idl.a × = (.r𝑄)
qusmul2idl.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
qusmul2idl.2 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2idl.3 (𝜑𝑋𝐵)
qusmul2idl.4 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
qusmul2idl (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2idl
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusmul2idl.3 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
2 qusmul2idl.4 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
3 qusmul2idl.h . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5 qusmul2idl.v . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
7 qusmul2idl.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 qusmul2idl.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
982idllidld 21265 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 eqid 2736 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1110lidlsubg 21234 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
127, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13 eqid 2736 . . . . 5 (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
145, 13eqger 19197 . . . 4 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16 eqid 2736 . . . . 5 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17 qusmul2idl.p . . . . 5 · = (.r𝑅)
185, 13, 16, 172idlcpbl 21283 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
197, 8, 18syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
205, 17ringcl 20248 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21203expb 1120 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
227, 21sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
2322caovclg 7626 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑡𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24 qusmul2idl.a . . 3 × = (.r𝑄)
254, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24qusmulval 17601 . 2 ((𝜑𝑋𝐵𝑌𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
261, 2, 25mpd3an23 1464 1 (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744  Basecbs 17248  .rcmulr 17299   /s cqus 17551  SubGrpcsubg 19139   ~QG cqg 19141  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217  2Idealc2idl 21260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-eqg 19144  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-2idl 21261
This theorem is referenced by:  qusmulcrng  21295  opprqusmulr  33520  qsdrngilem  33523  qsdrnglem2  33525
  Copyright terms: Public domain W3C validator