MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qusmul2idl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qusmul2idl 21307
Description: Value of the ring operation in a quotient ring by a two-sided ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
qusmul2idl.h 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2idl.v 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2idl.p · = (.r𝑅)
qusmul2idl.a × = (.r𝑄)
qusmul2idl.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
qusmul2idl.2 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2idl.3 (𝜑𝑋𝐵)
qusmul2idl.4 (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
qusmul2idl (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2idl
Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusmul2idl.3 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
2 qusmul2idl.4 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
3 qusmul2idl.h . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5 qusmul2idl.v . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
7 qusmul2idl.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 qusmul2idl.2 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
982idllidld 21282 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10 eqid 2735 . . . . . 6 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1110lidlsubg 21251 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
127, 9, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13 eqid 2735 . . . . 5 (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
145, 13eqger 19209 . . . 4 (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16 eqid 2735 . . . . 5 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17 qusmul2idl.p . . . . 5 · = (.r𝑅)
185, 13, 16, 172idlcpbl 21300 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
197, 8, 18syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
205, 17ringcl 20268 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21203expb 1119 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
227, 21sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
2322caovclg 7625 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑡𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24 qusmul2idl.a . . 3 × = (.r𝑄)
254, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24qusmulval 17602 . 2 ((𝜑𝑋𝐵𝑌𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
261, 2, 25mpd3an23 1462 1 (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   /s cqus 17552  SubGrpcsubg 19151   ~QG cqg 19153  Ringcrg 20251  LIdealclidl 21234  2Idealc2idl 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278
This theorem is referenced by:  qusmulcrng  21312  opprqusmulr  33499  qsdrngilem  33502  qsdrnglem2  33504
  Copyright terms: Public domain W3C validator