Theorem qusmul2idl 21290

Description: Value of the ring operation in a quotient ring by a two-sided ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2idl.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2idl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2idl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmul2idl.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmul2idl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qusmul2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2idl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmul2idl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmul2idl	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2idl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2idl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		qusmul2idl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		qusmul2idl.h	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5		qusmul2idl.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		qusmul2idl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		qusmul2idl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	10	lidlsubg 21234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12	7, 9, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	5, 13	eqger 19197	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17		qusmul2idl.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 21283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
19	7, 8, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
20	5, 17	ringcl 20248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
22	7, 21	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
23	22	caovclg 7626	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24		qusmul2idl.a	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑄)
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 17601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
26	1, 2, 25	mpd3an23 1464	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   Er wer 8743  [cec 8744  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299   /_s cqus 17551  SubGrpcsubg 19139   ~_QG cqg 19141  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217  2Idealc2idl 21260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-eqg 19144  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-2idl 21261

This theorem is referenced by:  qusmulcrng  21295  opprqusmulr  33520  qsdrngilem  33523  qsdrnglem2  33525