Theorem qusmul2idl 21239

Description: Value of the ring operation in a quotient ring by a two-sided ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusmul2idl.h	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
qusmul2idl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qusmul2idl.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmul2idl.a	⊢ × = (.r‘𝑄)
qusmul2idl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
qusmul2idl.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
qusmul2idl.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
qusmul2idl.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
qusmul2idl	⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Proof of Theorem qusmul2idl

Dummy variables 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusmul2idl.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		qusmul2idl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		qusmul2idl.h	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼)))
5		qusmul2idl.v	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
7		qusmul2idl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		qusmul2idl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
9	8	2idllidld 21214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11	10	lidlsubg 21183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12	7, 9, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ~QG 𝐼) = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	5, 13	eqger 19112	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ~QG 𝐼) Er 𝐵)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17		qusmul2idl.p	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	5, 13, 16, 17	2idlcpbl 21232	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
19	7, 8, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥(𝑅 ~QG 𝐼)𝑦 ∧ 𝑧(𝑅 ~QG 𝐼)𝑡) → (𝑥 · 𝑧)(𝑅 ~QG 𝐼)(𝑦 · 𝑡)))
20	5, 17	ringcl 20190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
22	7, 21	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝐵)
23	22	caovclg 7553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · 𝑡) ∈ 𝐵)
24		qusmul2idl.a	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑄)
25	4, 6, 15, 7, 19, 23, 17, 24	qusmulval 17481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))
26	1, 2, 25	mpd3an23 1466	1 ⊢ (𝜑 → ([𝑋](𝑅 ~QG 𝐼) × [𝑌](𝑅 ~QG 𝐼)) = [(𝑋 · 𝑌)](𝑅 ~QG 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   Er wer 8635  [cec 8636  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183   /_s cqus 17431  SubGrpcsubg 19055   ~_QG cqg 19057  Ringcrg 20173  LIdealclidl 21166  2Idealc2idl 21209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-0g 17366  df-imas 17434  df-qus 17435  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-eqg 19060  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-2idl 21210

This theorem is referenced by:  qusmulcrng  21244  opprqusmulr  33576  qsdrngilem  33579  qsdrnglem2  33581