Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem8 34355
Description: Lemma for knoppndv 34370. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem8.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem8.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem8.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem8.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem8.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem8.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem8.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem8
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem8.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem8.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem8.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem8.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem8.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem8.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 34354 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem8.1 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
9 2z 12108 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11 2ne0 11833 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
1310, 12, 53jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
14 dvdsval2 15715 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
168, 15mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
171, 16dnizeq0 34311 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = 0)
1817oveq2d 7199 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · 0))
19 knoppndvlem8.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2019knoppndvlem3 34350 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2120simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2221recnd 10760 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2322, 4expcld 13615 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
2423mul01d 10930 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · 0) = 0)
257, 18, 243eqtrd 2778 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935   class class class wbr 5040  cmpt 5120  cfv 6350  (class class class)co 7183  cr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   < clt 10766  cmin 10961  -cneg 10962   / cdiv 11388  cn 11729  2c2 11784  0cn0 11989  cz 12075  (,)cioo 12834  cfl 13264  cexp 13534  abscabs 14696  cdvds 15712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-rp 12486  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  34357
  Copyright terms: Public domain W3C validator