Theorem knoppndvlem8 37136

Description: Lemma for knoppndv 37151. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem8.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem8.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem8.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem8.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem8.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem8.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem8.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem8.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem8.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem8.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem8.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem8.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 37135	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem8.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
9		2z 12630	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11		2ne0 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	10, 12, 5	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
14		dvdsval2 16317	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
17	1, 16	dnizeq0 37092	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = 0)
18	17	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · 0))
19		knoppndvlem8.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
20	19	knoppndvlem3 37131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
21	20	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22, 4	expcld 14187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
24	23	mul01d 11413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · 0) = 0)
25	7, 18, 24	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   < clt 11247   − cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11875  ℕcn 12237  2c2 12299  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  (,)cioo 13376  ⌊cfl 13828  ↑cexp 14102  abscabs 15290   ∥ cdvds 16314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-dvds 16315

This theorem is used by:  knoppndvlem10  37138