Theorem knoppndvlem8 36537

Description: Lemma for knoppndv 36552. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem8.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem8.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem8.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem8.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem8.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem8.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem8.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem8.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem8.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem8.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem8.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem8.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 36536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem8.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
9		2z 12624	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11		2ne0 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	10, 12, 5	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
14		dvdsval2 16275	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
16	8, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
17	1, 16	dnizeq0 36493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = 0)
18	17	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · 0))
19		knoppndvlem8.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
20	19	knoppndvlem3 36532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
21	20	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22, 4	expcld 14164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
24	23	mul01d 11434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · 0) = 0)
25	7, 18, 24	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  (,)cioo 13362  ⌊cfl 13807  ↑cexp 14079  abscabs 15253   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273

This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  36539