Theorem knoppndvlem8 37301

Description: Lemma for knoppndv 37316. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem8.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem8.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem8.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem8.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem8.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem8.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem8.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem8.1	⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝑀(𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem8.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppndvlem8.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppndvlem8.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4		knoppndvlem8.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
5		knoppndvlem8.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		knoppndvlem8.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	knoppndvlem7 37300	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8		knoppndvlem8.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
9		2z 12683	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11		2ne0 12404	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
13	10, 12, 5	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
14		dvdsval2 16378	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
16	8, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
17	1, 16	dnizeq0 37257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = 0)
18	17	oveq2d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶↑𝐽) · 0))
19		knoppndvlem8.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
20	19	knoppndvlem3 37296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
21	20	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	recnd 11294	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22, 4	expcld 14243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑𝐽) ∈ ℂ)
24	23	mul01d 11466	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝐽) · 0) = 0)
25	7, 18, 24	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝐽) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   < clt 11300   − cmin 11498  -cneg 11499   / cdiv 11928  ℕcn 12290  2c2 12352  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  (,)cioo 13431  ⌊cfl 13884  ↑cexp 14158  abscabs 15354   ∥ cdvds 16375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376

This theorem is used by:  knoppndvlem10  37303