Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  krippen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krippen 26492
 Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of [Schwabhauser] p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
krippen.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
krippen.n 𝑁 = (𝑆𝑌)
krippen.a (𝜑𝐴𝑃)
krippen.b (𝜑𝐵𝑃)
krippen.c (𝜑𝐶𝑃)
krippen.e (𝜑𝐸𝑃)
krippen.f (𝜑𝐹𝑃)
krippen.x (𝜑𝑋𝑃)
krippen.y (𝜑𝑌𝑃)
krippen.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
krippen.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
krippen.3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
krippen.4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
krippen.5 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
krippen.6 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
Assertion
Ref Expression
krippen (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem krippen
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 krippen.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝑋)
9 krippen.n . . 3 𝑁 = (𝑆𝑌)
10 krippen.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐴𝑃)
12 krippen.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵𝑃)
14 krippen.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1514adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶𝑃)
16 krippen.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1716adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐸𝑃)
18 krippen.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1918adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹𝑃)
20 krippen.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
2120adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑋𝑃)
22 krippen.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2322adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑌𝑃)
24 krippen.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
2524adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
26 krippen.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
2726adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
28 krippen.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
2928adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
30 krippen.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
3130adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
32 krippen.5 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
3332adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
34 krippen.6 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
3534adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
36 eqid 2824 . . 3 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
37 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸))
381, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37krippenlem 26491 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
396adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4022adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑌𝑃)
4114adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶𝑃)
4220adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑋𝑃)
4316adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐸𝑃)
4418adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹𝑃)
4510adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐴𝑃)
4612adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵𝑃)
4724adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
481, 2, 3, 39, 45, 41, 43, 47tgbtwncom 26289 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
4926adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
501, 2, 3, 39, 46, 41, 44, 49tgbtwncom 26289 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
5130adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
5228adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
5334adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
5432adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
55 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴))
561, 2, 3, 4, 5, 39, 9, 8, 43, 44, 41, 45, 46, 40, 42, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 36, 55krippenlem 26491 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
571, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 56tgbtwncom 26289 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
581, 2, 3, 36, 6, 14, 10, 14, 16legtrid 26392 . 2 (𝜑 → ((𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸) ∨ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)))
5938, 57, 58mpjaodan 956 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26231  Itvcitv 26237  LineGclng 26238  ≤Gcleg 26383  pInvGcmir 26453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26249  df-trkgb 26250  df-trkgcb 26251  df-trkg 26254  df-cgrg 26312  df-leg 26384  df-mir 26454 This theorem is referenced by:  footexALT  26519  footexlem1  26520  mideulem2  26535
 Copyright terms: Public domain W3C validator