MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  krippen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krippen 28713
Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of [Schwabhauser] p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
krippen.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
krippen.n 𝑁 = (𝑆𝑌)
krippen.a (𝜑𝐴𝑃)
krippen.b (𝜑𝐵𝑃)
krippen.c (𝜑𝐶𝑃)
krippen.e (𝜑𝐸𝑃)
krippen.f (𝜑𝐹𝑃)
krippen.x (𝜑𝑋𝑃)
krippen.y (𝜑𝑌𝑃)
krippen.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
krippen.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
krippen.3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
krippen.4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
krippen.5 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
krippen.6 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
Assertion
Ref Expression
krippen (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem krippen
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 krippen.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝑋)
9 krippen.n . . 3 𝑁 = (𝑆𝑌)
10 krippen.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐴𝑃)
12 krippen.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵𝑃)
14 krippen.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶𝑃)
16 krippen.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐸𝑃)
18 krippen.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹𝑃)
20 krippen.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑋𝑃)
22 krippen.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑌𝑃)
24 krippen.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
26 krippen.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
28 krippen.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
30 krippen.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
32 krippen.5 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
3332adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
34 krippen.6 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
3534adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
36 eqid 2734 . . 3 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
37 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸))
381, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37krippenlem 28712 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
396adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4022adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑌𝑃)
4114adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶𝑃)
4220adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑋𝑃)
4316adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐸𝑃)
4418adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹𝑃)
4510adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐴𝑃)
4612adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵𝑃)
4724adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
481, 2, 3, 39, 45, 41, 43, 47tgbtwncom 28510 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
4926adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
501, 2, 3, 39, 46, 41, 44, 49tgbtwncom 28510 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
5130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
5228adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
5334adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
5432adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
55 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴))
561, 2, 3, 4, 5, 39, 9, 8, 43, 44, 41, 45, 46, 40, 42, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 36, 55krippenlem 28712 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
571, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 56tgbtwncom 28510 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
581, 2, 3, 36, 6, 14, 10, 14, 16legtrid 28613 . 2 (𝜑 → ((𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸) ∨ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)))
5938, 57, 58mpjaodan 960 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455  LineGclng 28456  ≤Gcleg 28604  pInvGcmir 28674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605  df-mir 28675
This theorem is referenced by:  footexALT  28740  footexlem1  28741  mideulem2  28756
  Copyright terms: Public domain W3C validator