Theorem lvecdim 20334

Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 20321 and lbsacsbs 20333 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 18192. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim.1	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem lvecdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	1, 2, 3	lssacsex 20321	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
5	4	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
6	5	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
7		eqid 2738	. 2 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
8	5	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
9		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
10		lvecdim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
11	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 20333	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
12	11	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
13	9, 12	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
14	13	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
15		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ 𝐽)
16	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 20333	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
18	15, 17	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
20	13	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
21	18	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
23	6, 2, 7, 8, 14, 19, 22	acsexdimd 18192	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418   ≈ cen 8688  Basecbs 16840  mrClscmrc 17209  mrIndcmri 17210  ACScacs 17211  LSubSpclss 20108  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-r1 9453  df-rank 9454  df-card 9628  df-acn 9631  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ocomp 16909  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-mri 17214  df-acs 17215  df-proset 17928  df-drs 17929  df-poset 17946  df-ipo 18161  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lbs 20252  df-lvec 20280

This theorem is referenced by:  dimval  31588