Theorem lvecdim 21311

Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 21298 and lbsacsbs 21310 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 18633. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecdim.1	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdim	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem lvecdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	1, 2, 3	lssacsex 21298	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
5	4	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
6	5	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
7		eqid 2765	. 2 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
8	5	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
9		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
10		lvecdim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
11	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 21310	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
13	9, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
14	13	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
15		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ 𝐽)
16	1, 2, 3, 7, 10	lbsacsbs 21310	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
17	16	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
18	15, 17	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
19	18	simpld 500	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
20	13	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
21	18	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
23	6, 2, 7, 8, 14, 19, 22	acsexdimd 18633	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → 𝑆 ≈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540   ≈ cen 8942  Basecbs 17287  mrClscmrc 17653  mrIndcmri 17654  ACScacs 17655  LSubSpclss 21082  LBasisclbs 21225  LVecclvec 21253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-reg 9557  ax-inf2 9613  ax-ac2 10458  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9475  df-r1 9739  df-rank 9740  df-scott 9861  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10112  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ocomp 17349  df-0g 17512  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-mri 17658  df-acs 17659  df-proset 18368  df-drs 18369  df-poset 18387  df-ipo 18602  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-subg 19213  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lbs 21226  df-lvec 21254

This theorem is used by:  lbslelsp  34028  dimval  34031