MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdim 19858
Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 19845 and lbsacsbs 19857 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 17781. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim.1 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lvecdim ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)

Proof of Theorem lvecdim
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . . 5 (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
3 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
41, 2, 3lssacsex 19845 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
543ad2ant1 1125 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
65simpld 495 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
7 eqid 2818 . 2 (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
85simprd 496 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
9 simp2 1129 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝐽)
10 lvecdim.1 . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
111, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 19857 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
12113ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
139, 12mpbid 233 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
1413simpld 495 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
15 simp3 1130 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑇𝐽)
161, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 19857 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑇𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
17163ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑇𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
1815, 17mpbid 233 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
1918simpld 495 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
2013simprd 496 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
2118simprd 496 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
2220, 21eqtr4d 2856 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
236, 2, 7, 8, 14, 19, 22acsexdimd 17781 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽𝑇𝐽) → 𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cdif 3930  cun 3931  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  cen 8494  Basecbs 16471  mrClscmrc 16842  mrIndcmri 16843  ACScacs 16844  LSubSpclss 19632  LBasisclbs 19775  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ocomp 16574  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-mri 16847  df-acs 16848  df-proset 17526  df-drs 17527  df-poset 17544  df-ipo 17750  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lbs 19776  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  dimval  30900
  Copyright terms: Public domain W3C validator