Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcv2 36310
Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv2 30148 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcv2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv2.p = (LSSum‘𝑊)
lcv2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv2.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
lcv2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lcv2.u (𝜑𝑈𝑆)
lcv2.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
lcv2 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))

Proof of Theorem lcv2
StepHypRef Expression
1 lcv2.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
2 lcv2.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19880 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lcv2.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
65lsssssubg 19732 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8 lcv2.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
97, 8sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10 lcv2.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
11 lcv2.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
125, 10, 4, 11lsatlssel 36265 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
137, 12sseldd 3954 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
141, 9, 13lssnle 18802 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄)))
15 lcv2.c . . 3 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
165, 1, 10, 15, 2, 8, 11lcv1 36309 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑄𝑈𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
1714, 16bitr3d 284 1 (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  wpss 3920   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  SubGrpcsubg 18275  LSSumclsm 18761  LModclmod 19636  LSubSpclss 19705  LVecclvec 19876  LSAtomsclsa 36242  L clcv 36286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36244  df-lcv 36287
This theorem is referenced by:  lsatexch  36311  islshpcv  36321
  Copyright terms: Public domain W3C validator