Theorem lcv2 37056

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv2 30718 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv2.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
2		lcv2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 20368	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcv2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	5	lsssssubg 20220	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8		lcv2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lcv2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
11		lcv2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	5, 10, 4, 11	lsatlssel 37011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
13	7, 12	sseldd 3922	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	1, 9, 13	lssnle 19280	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
15		lcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
16	5, 1, 10, 15, 2, 8, 11	lcv1 37055	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
17	14, 16	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  SubGrpcsubg 18749  LSSumclsm 19239  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LVecclvec 20364  LSAtomsclsa 36988   ⋖_L clcv 37032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lcv 37033

This theorem is referenced by:  lsatexch  37057  islshpcv  37067