Theorem lcv2 37900

Description: Covering property of a subspace plus an atom. (chcv2 31596 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcv2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lcv2.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lcv2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lcv2.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
lcv2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lcv2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lcv2.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lcv2	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Proof of Theorem lcv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcv2.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
2		lcv2.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 20709	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lcv2.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	5	lsssssubg 20561	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8		lcv2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
9	7, 8	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10		lcv2.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
11		lcv2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
12	5, 10, 4, 11	lsatlssel 37855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
13	7, 12	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
14	1, 9, 13	lssnle 19536	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄)))
15		lcv2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
16	5, 1, 10, 15, 2, 8, 11	lcv1 37899	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))
17	14, 16	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊊ (𝑈 ⊕ 𝑄) ↔ 𝑈𝐶(𝑈 ⊕ 𝑄)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  SubGrpcsubg 18994  LSSumclsm 19496  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832   ⋖_L clcv 37876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lcv 37877

This theorem is referenced by:  lsatexch  37901  islshpcv  37911