Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkr0f2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkr0f2 38535
Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkr0f2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkr0f2.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkr0f2.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkr0f2.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkr0f2.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkr0f2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lkr0f2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkr0f2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))

Proof of Theorem lkr0f2
StepHypRef Expression
1 lkr0f2.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lkr0f2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqid 2724 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2724 . . . 4 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
5 lkr0f2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lkr0f2.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
7 lkr0f2.k . . . 4 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
83, 4, 5, 6, 7lkr0f 38468 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
91, 2, 8syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
10 lkr0f2.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
11 lkr0f2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π·)
125, 3, 4, 10, 11, 1ldual0v 38524 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))}))
1312eqeq2d 2735 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 = 0 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))})))
149, 13bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LFnlclfn 38431  LKerclk 38459  LDualcld 38497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lfl 38432  df-lkr 38460  df-ldual 38498
This theorem is referenced by:  lkrpssN  38537  lcfl8b  40879  lcfrlem9  40925
  Copyright terms: Public domain W3C validator