Theorem lkr0f2 38026

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkr0f2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkr0f2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkr0f2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f2	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))

Proof of Theorem lkr0f2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lkr0f2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		lkr0f2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lkr0f2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7		lkr0f2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	lkr0f 37959	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
10		lkr0f2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
11		lkr0f2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12	5, 3, 4, 10, 11, 1	ldual0v 38015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
13	12	eqeq2d 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14	9, 13	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628   × cxp 5674  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17384  LModclmod 20470  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950  LDualcld 37988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989

This theorem is referenced by:  lkrpssN  38028  lcfl8b  40370  lcfrlem9  40416