Theorem lkr0f2 39162

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f2.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkr0f2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkr0f2.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkr0f2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f2	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))

Proof of Theorem lkr0f2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lkr0f2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		lkr0f2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lkr0f2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7		lkr0f2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	lkr0f 39095	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
10		lkr0f2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
11		lkr0f2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12	5, 3, 4, 10, 11, 1	ldual0v 39151	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
13	12	eqeq2d 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 = 0 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
14	9, 13	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626   × cxp 5683  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  LDualcld 39124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125

This theorem is referenced by:  lkrpssN  39164  lcfl8b  41506  lcfrlem9  41552