Theorem lmieq 28022

Description: Equality deduction for line mirroring. Theorem 10.7 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmieq.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lmieq.d	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lmieq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmieq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6897	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵)))
2		fveqeq2 6897	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵)))
3		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
9		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		lmieq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmicl 28017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12	lmireu 28021	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵))
14		lmicl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		lmieq.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
16		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵))
17	1, 2, 13, 14, 11, 15, 16	reu2eqd 3731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  2c2 12263  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27662  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  lInvGclmi 28004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkgld 27683  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-leg 27814  df-mir 27884  df-rag 27925  df-perpg 27927  df-mid 28005  df-lmi 28006

This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  28036