Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmieq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmieq 26591
 Description: Equality deduction for line mirroring. Theorem 10.7 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
lmieq.c (𝜑𝐵𝑃)
lmieq.d (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐵))
Assertion
Ref Expression
lmieq (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmieq
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6670 . 2 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀𝑏) = (𝑀𝐵) ↔ (𝑀𝐴) = (𝑀𝐵)))
2 fveqeq2 6670 . 2 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑀𝑏) = (𝑀𝐵) ↔ (𝑀𝐵) = (𝑀𝐵)))
3 ismid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 ismid.d . . 3 = (dist‘𝐺)
5 ismid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 ismid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 ismid.1 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
8 lmif.m . . 3 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
9 lmif.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10 lmif.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 lmieq.c . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11lmicl 26586 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12lmireu 26590 . 2 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 (𝑀𝑏) = (𝑀𝐵))
14 lmicl.1 . 2 (𝜑𝐴𝑃)
15 lmieq.d . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐵))
16 eqidd 2825 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐵) = (𝑀𝐵))
171, 2, 13, 14, 11, 15, 16reu2eqd 3713 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  ran crn 5543  ‘cfv 6343  2c2 11689  Basecbs 16483  distcds 16574  TarskiGcstrkg 26230  DimTarskiG≥cstrkgld 26234  Itvcitv 26236  LineGclng 26237  lInvGclmi 26573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-trkgc 26248  df-trkgb 26249  df-trkgcb 26250  df-trkgld 26252  df-trkg 26253  df-cgrg 26311  df-leg 26383  df-mir 26453  df-rag 26494  df-perpg 26496  df-mid 26574  df-lmi 26575 This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  26605
 Copyright terms: Public domain W3C validator