Theorem lmieq 26139

Description: Equality deduction for line mirroring. Theorem 10.7 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmieq.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lmieq.d	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lmieq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmieq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6455	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵)))
2		fveqeq2 6455	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵)))
3		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
9		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		lmieq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmicl 26134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12	lmireu 26138	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵))
14		lmicl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		lmieq.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
16		eqidd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵))
17	1, 2, 13, 14, 11, 15, 16	reu2eqd 3616	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  ran crn 5356  ‘cfv 6135  2c2 11430  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25785  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  lInvGclmi 26121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkgld 25803  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-leg 25934  df-mir 26004  df-rag 26045  df-perpg 26047  df-mid 26122  df-lmi 26123

This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  26153