Theorem lmieq 28771

Description: Equality deduction for line mirroring. Theorem 10.7 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
lmieq.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
lmieq.d	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
lmieq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lmieq

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6849	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵)))
2		fveqeq2 6849	. 2 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵) ↔ (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵)))
3		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
8		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
9		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
10		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
11		lmieq.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
12	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lmicl 28766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) ∈ 𝑃)
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12	lmireu 28770	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = (𝑀‘𝐵))
14		lmicl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		lmieq.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) = (𝑀‘𝐵))
16		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘𝐵))
17	1, 2, 13, 14, 11, 15, 16	reu2eqd 3704	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ran crn 5632  ‘cfv 6499  2c2 12217  Basecbs 17155  distcds 17205  TarskiGcstrkg 28407  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28411  Itvcitv 28413  LineGclng 28414  lInvGclmi 28753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-s3 14791  df-trkgc 28428  df-trkgb 28429  df-trkgcb 28430  df-trkgld 28432  df-trkg 28433  df-cgrg 28491  df-leg 28563  df-mir 28633  df-rag 28674  df-perpg 28676  df-mid 28754  df-lmi 28755

This theorem is referenced by:  trgcopyeulem  28785