Theorem lmireu 28308

Description: Any point has a unique antecedent through line mirroring. Theorem 10.6 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmireu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏   𝐴,𝑏   𝑀,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   − (𝑏)

Proof of Theorem lmireu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmicl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lmicl 28304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lmilmi 28307	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘𝐴)) = 𝐴)
12	4	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → 𝐺DimTarskiG≥2)
14	8	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
15		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑃)
16	1, 2, 3, 12, 13, 6, 7, 14, 15	lmilmi 28307	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑏)) = 𝑏)
17		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → (𝑀‘𝑏) = 𝐴)
18	17	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀‘𝑏)) = (𝑀‘𝐴))
19	16, 18	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀‘𝑏) = 𝐴) → 𝑏 = (𝑀‘𝐴))
20	19	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) → ((𝑀‘𝑏) = 𝐴 → 𝑏 = (𝑀‘𝐴)))
21	20	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀‘𝑏) = 𝐴 → 𝑏 = (𝑀‘𝐴)))
22		fveqeq2 6899	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑀‘𝐴) → ((𝑀‘𝑏) = 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝑀‘𝐴)) = 𝐴))
23	22	eqreu 3724	. 2 ⊢ (((𝑀‘𝐴) ∈ 𝑃 ∧ (𝑀‘(𝑀‘𝐴)) = 𝐴 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝑀‘𝑏) = 𝐴 → 𝑏 = (𝑀‘𝐴))) → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = 𝐴)
24	10, 11, 21, 23	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑏 ∈ 𝑃 (𝑀‘𝑏) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃!wreu 3372   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6542  2c2 12271  Basecbs 17148  distcds 17210  TarskiGcstrkg 27945  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27949  Itvcitv 27951  LineGclng 27952  lInvGclmi 28291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 27966  df-trkgb 27967  df-trkgcb 27968  df-trkgld 27970  df-trkg 27971  df-cgrg 28029  df-leg 28101  df-mir 28171  df-rag 28212  df-perpg 28214  df-mid 28292  df-lmi 28293

This theorem is referenced by:  lmieq  28309