Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmireu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmireu 26268
 Description: Any point has a unique antecedent through line mirroring. Theorem 10.6 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmireu (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 (𝑀𝑏) = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏   𝐴,𝑏   𝑀,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   (𝑏)

Proof of Theorem lmireu
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmif.m . . 3 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7 lmif.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 lmif.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 lmicl.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lmicl 26264 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lmilmi 26267 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐴)) = 𝐴)
124ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → 𝐺 ∈ TarskiG)
135ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → 𝐺DimTarskiG≥2)
148ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
15 simplr 756 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → 𝑏𝑃)
161, 2, 3, 12, 13, 6, 7, 14, 15lmilmi 26267 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝑏)) = 𝑏)
17 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → (𝑀𝑏) = 𝐴)
1817fveq2d 6497 . . . . 5 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → (𝑀‘(𝑀𝑏)) = (𝑀𝐴))
1916, 18eqtr3d 2810 . . . 4 (((𝜑𝑏𝑃) ∧ (𝑀𝑏) = 𝐴) → 𝑏 = (𝑀𝐴))
2019ex 405 . . 3 ((𝜑𝑏𝑃) → ((𝑀𝑏) = 𝐴𝑏 = (𝑀𝐴)))
2120ralrimiva 3126 . 2 (𝜑 → ∀𝑏𝑃 ((𝑀𝑏) = 𝐴𝑏 = (𝑀𝐴)))
22 fveqeq2 6502 . . 3 (𝑏 = (𝑀𝐴) → ((𝑀𝑏) = 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝑀𝐴)) = 𝐴))
2322eqreu 3628 . 2 (((𝑀𝐴) ∈ 𝑃 ∧ (𝑀‘(𝑀𝐴)) = 𝐴 ∧ ∀𝑏𝑃 ((𝑀𝑏) = 𝐴𝑏 = (𝑀𝐴))) → ∃!𝑏𝑃 (𝑀𝑏) = 𝐴)
2410, 11, 21, 23syl3anc 1351 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 (𝑀𝑏) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∀wral 3082  ∃!wreu 3084   class class class wbr 4923  ran crn 5401  ‘cfv 6182  2c2 11488  Basecbs 16329  distcds 16420  TarskiGcstrkg 25908  DimTarskiG≥cstrkgld 25912  Itvcitv 25914  LineGclng 25915  lInvGclmi 26251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-dju 9116  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-xnn0 11773  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-hash 13499  df-word 13663  df-concat 13724  df-s1 13749  df-s2 14062  df-s3 14063  df-trkgc 25926  df-trkgb 25927  df-trkgcb 25928  df-trkgld 25930  df-trkg 25931  df-cgrg 25989  df-leg 26061  df-mir 26131  df-rag 26172  df-perpg 26174  df-mid 26252  df-lmi 26253 This theorem is referenced by:  lmieq  26269
 Copyright terms: Public domain W3C validator