MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmiinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmiinv 28711
Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1 (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmiinv (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴𝐷))

Proof of Theorem lmiinv
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ismid.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 ismid.1 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
6 lmif.m . . 3 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7 lmif.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8 lmif.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 lmicl.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9islmib 28706 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
11 eqcom 2732 . . 3 (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝑀𝐴) ↔ (𝑀𝐴) = 𝐴))
13 eqidd 2726 . . . . 5 (𝜑𝐴 = 𝐴)
1413olcd 872 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))
1514biantrud 530 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
161, 2, 3, 4, 5, 9, 9midid 28700 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
1716eleq1d 2810 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷𝐴𝐷))
1815, 17bitr3d 280 . 2 (𝜑 → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴)) ↔ 𝐴𝐷))
1910, 12, 183bitr3d 308 1 (𝜑 → ((𝑀𝐴) = 𝐴𝐴𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  ran crn 5682  cfv 6553  (class class class)co 7423  2c2 12314  Basecbs 17208  distcds 17270  TarskiGcstrkg 28346  DimTarskiGcstrkgld 28350  Itvcitv 28352  LineGclng 28353  ⟂Gcperpg 28614  midGcmid 28691  lInvGclmi 28692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9940  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-xnn0 12592  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-s3 14853  df-trkgc 28367  df-trkgb 28368  df-trkgcb 28369  df-trkgld 28371  df-trkg 28372  df-cgrg 28430  df-leg 28502  df-mir 28572  df-rag 28613  df-perpg 28615  df-mid 28693  df-lmi 28694
This theorem is referenced by:  lmicinv  28712  lmiisolem  28715  lmiopp  28721
  Copyright terms: Public domain W3C validator