Theorem lmiinv 28609

Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiinv	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem lmiinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmicl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9	islmib 28604	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
11		eqcom 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴))
13		eqidd 2729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
14	13	olcd 873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))
15	14	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 9	midid 28598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
18	15, 17	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
19	10, 12, 18	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ran crn 5679  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  2c2 12298  Basecbs 17180  distcds 17242  TarskiGcstrkg 28244  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28248  Itvcitv 28250  LineGclng 28251  ⟂Gcperpg 28512  midGcmid 28589  lInvGclmi 28590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-hash 14323  df-word 14498  df-concat 14554  df-s1 14579  df-s2 14832  df-s3 14833  df-trkgc 28265  df-trkgb 28266  df-trkgcb 28267  df-trkgld 28269  df-trkg 28270  df-cgrg 28328  df-leg 28400  df-mir 28470  df-rag 28511  df-perpg 28513  df-mid 28591  df-lmi 28592

This theorem is referenced by:  lmicinv  28610  lmiisolem  28613  lmiopp  28619