Theorem lmiinv 28547

Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiinv	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem lmiinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmicl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9	islmib 28542	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
11		eqcom 2733	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴))
13		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
14	13	olcd 871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))
15	14	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 9	midid 28536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
18	15, 17	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
19	10, 12, 18	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ran crn 5670  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  2c2 12268  Basecbs 17151  distcds 17213  TarskiGcstrkg 28182  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28186  Itvcitv 28188  LineGclng 28189  ⟂Gcperpg 28450  midGcmid 28527  lInvGclmi 28528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-trkgc 28203  df-trkgb 28204  df-trkgcb 28205  df-trkgld 28207  df-trkg 28208  df-cgrg 28266  df-leg 28338  df-mir 28408  df-rag 28449  df-perpg 28451  df-mid 28529  df-lmi 28530

This theorem is referenced by:  lmicinv  28548  lmiisolem  28551  lmiopp  28557