Theorem lmiinv 28771

Description: The invariants of the line mirroring lie on the mirror line. Theorem 10.8 of [Schwabhauser] p. 89. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
lmif.m	⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
lmif.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmif.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmicl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lmiinv	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem lmiinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ismid.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		ismid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
6		lmif.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((lInvG‘𝐺)‘𝐷)
7		lmif.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		lmif.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9		lmicl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9	islmib 28766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
11		eqcom 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴)
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝑀‘𝐴) ↔ (𝑀‘𝐴) = 𝐴))
13		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
14	13	olcd 874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))
15	14	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴))))
16	1, 2, 3, 4, 5, 9, 9	midid 28760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
17	16	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
18	15, 17	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(midG‘𝐺)𝐴) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐴) ∨ 𝐴 = 𝐴)) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))
19	10, 12, 18	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴) = 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ran crn 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  2c2 12295  Basecbs 17228  distcds 17280  TarskiGcstrkg 28406  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28410  Itvcitv 28412  LineGclng 28413  ⟂Gcperpg 28674  midGcmid 28751  lInvGclmi 28752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-trkgc 28427  df-trkgb 28428  df-trkgcb 28429  df-trkgld 28431  df-trkg 28432  df-cgrg 28490  df-leg 28562  df-mir 28632  df-rag 28673  df-perpg 28675  df-mid 28753  df-lmi 28754

This theorem is referenced by:  lmicinv  28772  lmiisolem  28775  lmiopp  28781