Theorem lshpinN 39007

Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpin.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpin.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpinN	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4212	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
2		lshpin.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻)
6		lshpin.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ 𝐻)
8	2, 4, 5, 7	lshpcmp 39006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇))
9	1, 8	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇)
10		inss2 4213	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		lshpin.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
13	2, 4, 5, 12	lshpcmp 39006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
14	10, 13	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
15	9, 14	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 = 𝑈)
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 → 𝑇 = 𝑈))
17		inidm 4202	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑇) = 𝑇
18	17, 6	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻)
19		ineq2 4189	. . . 4 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈))
20	19	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → ((𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
21	18, 20	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
22	16, 21	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  LVecclvec 21060  LSHypclsh 38993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-lshyp 38995

This theorem is referenced by: (None)