Theorem lshpinN 39876

Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpin.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpin.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpinN	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4182	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
2		lshpin.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻)
6		lshpin.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ 𝐻)
8	2, 4, 5, 7	lshpcmp 39875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇))
9	1, 8	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇)
10		inss2 4183	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		lshpin.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
13	2, 4, 5, 12	lshpcmp 39875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
14	10, 13	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
15	9, 14	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 = 𝑈)
16	15	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 → 𝑇 = 𝑈))
17		inidm 4172	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑇) = 𝑇
18	17, 6	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻)
19		ineq2 4160	. . . 4 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈))
20	19	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → ((𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
21	18, 20	syl5ibcom 248	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
22	16, 21	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6534  LVecclvec 21313  LSHypclsh 39862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-0g 17548  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-submnd 18915  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-sbg 19085  df-subg 19269  df-cntz 19467  df-lsm 19786  df-cmn 19932  df-abl 19933  df-mgp 20297  df-rng 20311  df-ur 20344  df-ring 20397  df-oppr 20503  df-dvdsr 20523  df-unit 20524  df-invr 20554  df-drng 20918  df-lmod 21073  df-lss 21143  df-lsp 21183  df-lvec 21314  df-lshyp 39864

This theorem is used by: (None)