Theorem lshpinN 38371

Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpin.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpin.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpinN	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4223	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
2		lshpin.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻)
6		lshpin.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ 𝐻)
8	2, 4, 5, 7	lshpcmp 38370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇))
9	1, 8	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇)
10		inss2 4224	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		lshpin.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
13	2, 4, 5, 12	lshpcmp 38370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
14	10, 13	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
15	9, 14	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 = 𝑈)
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 → 𝑇 = 𝑈))
17		inidm 4213	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑇) = 𝑇
18	17, 6	eqeltrid 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻)
19		ineq2 4201	. . . 4 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈))
20	19	eleq1d 2812	. . 3 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → ((𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
21	18, 20	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
22	16, 21	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6536  LVecclvec 20947  LSHypclsh 38357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lshyp 38359

This theorem is referenced by: (None)