Theorem lshpinN 37859

Description: The intersection of two different hyperplanes is not a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpin.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpin.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
lshpin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
lshpinN	⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Proof of Theorem lshpinN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4229	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
2		lshpin.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LVec)
5		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻)
6		lshpin.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐻)
7	6	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 ∈ 𝐻)
8	2, 4, 5, 7	lshpcmp 37858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇))
9	1, 8	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑇)
10		inss2 4230	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		lshpin.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
12	11	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ 𝐻)
13	2, 4, 5, 12	lshpcmp 37858	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → ((𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈))
14	10, 13	mpbii 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → (𝑇 ∩ 𝑈) = 𝑈)
15	9, 14	eqtr3d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻) → 𝑇 = 𝑈)
16	15	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 → 𝑇 = 𝑈))
17		inidm 4219	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑇) = 𝑇
18	17, 6	eqeltrid 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻)
19		ineq2 4207	. . . 4 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑈))
20	19	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑇 = 𝑈 → ((𝑇 ∩ 𝑇) ∈ 𝐻 ↔ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
21	18, 20	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 = 𝑈 → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻))
22	16, 21	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ∩ 𝑈) ∈ 𝐻 ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  LVecclvec 20713  LSHypclsh 37845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lshyp 37847

This theorem is referenced by: (None)