Theorem lshpkrcl 40087

Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrcl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐷(𝑥, 𝑦)   ⊕ (𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝑉(𝑦, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkr.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkr.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkr.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17	lshpsmreu 40080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19		riotacl 7383	. . . 4 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21		lshpkr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
23	22	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
24	23	riotabidv 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
25	24	cbvmptv 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
26	21, 25	eqtri 2783	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
27	20, 26	fmptd 7103	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21	lshpkrlem6 40086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
30	29	ralrimivvva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
31		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
32		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
33		lshpkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
34	1, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33	islfl 40031	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
35	6, 34	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
36	27, 30, 35	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  ℩crio 7365  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  ._rcmulr 17376  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557  LSSumclsm 19795  LSpanclspn 21193  LVecclvec 21324  LSHypclsh 39946  LFnlclfn 40028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-drng 20929  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-lvec 21325  df-lshyp 39948  df-lfl 40029

This theorem is used by:  lshpkr  40088  lshpkrex  40089  dochflcl  42446