Theorem lshpkrcl 39102

Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrcl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkr.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkr.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkr.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17	lshpsmreu 39095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19		riotacl 7343	. . . 4 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21		lshpkr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22		eqeq1 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
23	22	rexbidv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
24	23	riotabidv 7328	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
25	24	cbvmptv 5206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
26	21, 25	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
27	20, 26	fmptd 7068	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
28		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21	lshpkrlem6 39101	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
30	29	ralrimivvva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
32		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
33		lshpkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
34	1, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33	islfl 39046	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
35	6, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
36	27, 30, 35	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  ℩crio 7325  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  LSSumclsm 19548  LSpanclspn 20909  LVecclvec 21041  LSHypclsh 38961  LFnlclfn 39043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lshyp 38963  df-lfl 39044

This theorem is referenced by:  lshpkr  39103  lshpkrex  39104  dochflcl  41462