Theorem lshpkrcl 39214

Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrcl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkr.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkr.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkr.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17	lshpsmreu 39207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19		riotacl 7320	. . . 4 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21		lshpkr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22		eqeq1 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
23	22	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
24	23	riotabidv 7305	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
25	24	cbvmptv 5193	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
26	21, 25	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
27	20, 26	fmptd 7047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
28		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21	lshpkrlem6 39213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
30	29	ralrimivvva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
32		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
33		lshpkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
34	1, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33	islfl 39158	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
35	6, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
36	27, 30, 35	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  LSSumclsm 19546  LSpanclspn 20904  LVecclvec 21036  LSHypclsh 39073  LFnlclfn 39155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lshyp 39075  df-lfl 39156

This theorem is referenced by:  lshpkr  39215  lshpkrex  39216  dochflcl  41573