Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrcl 36867
Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a + = (+g𝑊)
lshpkr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkr.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkr.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkr.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl (𝜑𝐺𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
3 lshpkr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkr.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkr.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkr.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lshpkr.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑈𝐻)
10 lshpkr.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑍𝑉)
12 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
13 lshpkr.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkr.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16 lshpkr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
17 lshpkr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 36860 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19 riotacl 7188 . . . 4 (∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21 lshpkr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2322rexbidv 3216 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2423riotabidv 7172 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2524cbvmptv 5158 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2621, 25eqtri 2765 . . 3 𝐺 = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2720, 26fmptd 6931 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
28 eqid 2737 . . . 4 (0g𝐷) = (0g𝐷)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 36866 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
3029ralrimivvva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
31 eqid 2737 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
32 eqid 2737 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
33 lshpkr.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 36811 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
356, 34syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
3627, 30, 35mpbir2and 713 1 (𝜑𝐺𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  ∃!wreu 3063  {csn 4541  cmpt 5135  wf 6376  cfv 6380  crio 7169  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  0gc0g 16944  LSSumclsm 19023  LSpanclspn 20008  LVecclvec 20139  LSHypclsh 36726  LFnlclfn 36808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-drng 19769  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lvec 20140  df-lshyp 36728  df-lfl 36809
This theorem is referenced by:  lshpkr  36868  lshpkrex  36869  dochflcl  39226
  Copyright terms: Public domain W3C validator