Theorem lshpkrcl 38814

Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkr.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkr.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkr.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lshpkrcl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl

Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpkr.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		lshpkr.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lshpkr.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		lshpkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6		lshpkr.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lshpkr.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝐻)
10		lshpkr.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
11	10	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑍 ∈ 𝑉)
12		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
13		lshpkr.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
14	13	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15		lshpkr.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16		lshpkr.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
17		lshpkr.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
18	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17	lshpsmreu 38807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19		riotacl 7398	. . . 4 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
20	18, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21		lshpkr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22		eqeq1 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
23	22	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
24	23	riotabidv 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
25	24	cbvmptv 5266	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
26	21, 25	eqtri 2754	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑎 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
27	20, 26	fmptd 7128	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
28		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21	lshpkrlem6 38813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
30	29	ralrimivvva 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))
31		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
32		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
33		lshpkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
34	1, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33	islfl 38758	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
35	6, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:𝑉⟶𝐾 ∧ ∀𝑙 ∈ 𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑢))(+g‘𝐷)(𝐺‘𝑣)))))
36	27, 30, 35	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3362  {csn 4633   ↦ cmpt 5236  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  ℩crio 7379  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  ._rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  0_gc0g 17454  LSSumclsm 19632  LSpanclspn 20948  LVecclvec 21080  LSHypclsh 38673  LFnlclfn 38755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lshyp 38675  df-lfl 38756

This theorem is referenced by:  lshpkr  38815  lshpkrex  38816  dochflcl  41174