Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrcl 38620
Description: The set 𝐺 defined by hyperplane π‘ˆ is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkr.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkr.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkr.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkr.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkr.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkr.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkr.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkr.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkr.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkr.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
lshpkr.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦)   βŠ• (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐾(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(𝑦,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘˜)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables π‘Ž 𝑙 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpkr.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
3 lshpkr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 lshpkr.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
5 lshpkr.h . . . . 5 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
6 lshpkr.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lshpkr.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
10 lshpkr.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
12 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
13 lshpkr.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkr.d . . . . 5 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
16 lshpkr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
17 lshpkr.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 38613 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
19 riotacl 7400 . . . 4 (βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ 𝐾)
2018, 19syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ 𝐾)
21 lshpkr.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
22 eqeq1 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
2322rexbidv 3176 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
2423riotabidv 7384 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Ž β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
2524cbvmptv 5265 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)))) = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
2621, 25eqtri 2756 . . 3 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘Ž = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
2720, 26fmptd 7129 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆπΎ)
28 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 38619 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑙 ∈ 𝐾 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
3029ralrimivvva 3201 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘™ ∈ 𝐾 βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))
31 eqid 2728 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
32 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
33 lshpkr.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 38564 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:π‘‰βŸΆπΎ ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝐾 βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
356, 34syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ 𝐹 ↔ (𝐺:π‘‰βŸΆπΎ ∧ βˆ€π‘™ ∈ 𝐾 βˆ€π‘’ ∈ 𝑉 βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜((𝑙 Β· 𝑒) + 𝑣)) = ((𝑙(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’))(+gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘£)))))
3627, 30, 35mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  βˆƒ!wreu 3372  {csn 4632   ↦ cmpt 5235  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  LSSumclsm 19596  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  LSHypclsh 38479  LFnlclfn 38561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lshyp 38481  df-lfl 38562
This theorem is referenced by:  lshpkr  38621  lshpkrex  38622  dochflcl  40980
  Copyright terms: Public domain W3C validator