Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrcl 36563
 Description: The set 𝐺 defined by hyperplane 𝑈 is a linear functional. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkr.a + = (+g𝑊)
lshpkr.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkr.p = (LSSum‘𝑊)
lshpkr.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkr.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lshpkr.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpkr.z (𝜑𝑍𝑉)
lshpkr.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkr.t · = ( ·𝑠𝑊)
lshpkr.g 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
lshpkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lshpkrcl (𝜑𝐺𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝐷,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem lshpkrcl
Dummy variables 𝑎 𝑙 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lshpkr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpkr.a . . . . 5 + = (+g𝑊)
3 lshpkr.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lshpkr.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
5 lshpkr.h . . . . 5 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
6 lshpkr.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
8 lshpkr.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐻)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑈𝐻)
10 lshpkr.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
1110adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑍𝑉)
12 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
13 lshpkr.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
1413adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑈 (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
15 lshpkr.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
16 lshpkr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
17 lshpkr.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17lshpsmreu 36556 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑉) → ∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
19 riotacl 7120 . . . 4 (∃!𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑎𝑉) → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
21 lshpkr.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
22 eqeq1 2802 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2322rexbidv 3257 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (∃𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2423riotabidv 7105 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2524cbvmptv 5137 . . . 4 (𝑥𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))) = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2621, 25eqtri 2821 . . 3 𝐺 = (𝑎𝑉 ↦ (𝑘𝐾𝑦𝑈 𝑎 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
2720, 26fmptd 6865 . 2 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
28 eqid 2798 . . . 4 (0g𝐷) = (0g𝐷)
291, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 10, 13, 15, 16, 17, 28, 21lshpkrlem6 36562 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉)) → (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
3029ralrimivvva 3157 . 2 (𝜑 → ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))
31 eqid 2798 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
32 eqid 2798 . . . 4 (.r𝐷) = (.r𝐷)
33 lshpkr.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
341, 2, 15, 17, 16, 31, 32, 33islfl 36507 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
356, 34syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑙𝐾𝑢𝑉𝑣𝑉 (𝐺‘((𝑙 · 𝑢) + 𝑣)) = ((𝑙(.r𝐷)(𝐺𝑢))(+g𝐷)(𝐺𝑣)))))
3627, 30, 35mpbir2and 712 1 (𝜑𝐺𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108  {csn 4528   ↦ cmpt 5114  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  ℩crio 7102  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  .rcmulr 16578  Scalarcsca 16580   ·𝑠 cvsca 16581  0gc0g 16725  LSSumclsm 18772  LSpanclspn 19757  LVecclvec 19888  LSHypclsh 36422  LFnlclfn 36504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7893  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-sbg 18120  df-subg 18289  df-cntz 18460  df-lsm 18774  df-cmn 18921  df-abl 18922  df-mgp 19254  df-ur 19266  df-ring 19313  df-oppr 19390  df-dvdsr 19408  df-unit 19409  df-invr 19439  df-drng 19518  df-lmod 19650  df-lss 19718  df-lsp 19758  df-lvec 19889  df-lshyp 36424  df-lfl 36505 This theorem is referenced by:  lshpkr  36564  lshpkrex  36565  dochflcl  38922
 Copyright terms: Public domain W3C validator