Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpkrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpkrlem2 38284
Description: Lemma for lshpkrex 38291. The value of tentative functional 𝐺 is a scalar. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.a + = (+gβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lshpkrlem.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lshpkrlem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
lshpkrlem.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lshpkrlem.o 0 = (0gβ€˜π·)
lshpkrlem.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦, +   π‘˜,𝐾,π‘₯   0 ,π‘˜   Β· ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑉   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑍,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘˜)   βŠ• (π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐾(𝑦)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝑉(𝑦,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑦,π‘˜)   0 (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem2
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 eqeq1 2734 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
32rexbidv 3176 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
43riotabidv 7369 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
5 lshpkrlem.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ π‘₯ = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
6 riotaex 7371 . . . 4 (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6997 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
81, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))))
9 lshpkrlem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 lshpkrlem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
11 lshpkrlem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
12 lshpkrlem.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
13 lshpkrlem.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
14 lshpkrlem.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
15 lshpkrlem.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
16 lshpkrlem.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
17 lshpkrlem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑍})) = 𝑉)
18 lshpkrlem.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
19 lshpkrlem.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
20 lshpkrlem.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
219, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20lshpsmreu 38282 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)))
22 riotacl 7385 . . 3 (βˆƒ!π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍)) β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ 𝐾)
2321, 22syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (β„©π‘˜ ∈ 𝐾 βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ 𝑋 = (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑍))) ∈ 𝐾)
248, 23eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LSSumclsm 19543  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  LSHypclsh 38148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lshyp 38150
This theorem is referenced by:  lshpkrlem4  38286  lshpkrlem5  38287
  Copyright terms: Public domain W3C validator