Theorem lshpkrlem2 39093

Description: Lemma for lshpkrex 39100. The value of tentative functional 𝐺 is a scalar. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpkrlem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpkrlem.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
lshpkrlem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpkrlem.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpkrlem.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpkrlem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lshpkrlem.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpkrlem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpkrlem.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
lshpkrlem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lshpkrlem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lshpkrlem.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lshpkrlem.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lshpkrlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
lshpkrlem2	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦, +   𝑘,𝐾,𝑥   0 ,𝑘   · ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑈,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝑉   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑍,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑘)   ⊕ (𝑥,𝑦,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐾(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑘)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lshpkrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpkrlem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
3	2	rexbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
4	3	riotabidv 7390	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
5		lshpkrlem.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
6		riotaex 7392	. . . 4 ⊢ (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) = (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))))
9		lshpkrlem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lshpkrlem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
11		lshpkrlem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12		lshpkrlem.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
13		lshpkrlem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
14		lshpkrlem.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
15		lshpkrlem.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
16		lshpkrlem.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
17		lshpkrlem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑍})) = 𝑉)
18		lshpkrlem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
19		lshpkrlem.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
20		lshpkrlem.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
21	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 1, 17, 18, 19, 20	lshpsmreu 39091	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)))
22		riotacl 7405	. . 3 ⊢ (∃!𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍)) → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
23	21, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑦 ∈ 𝑈 𝑋 = (𝑦 + (𝑘 · 𝑍))) ∈ 𝐾)
24	8, 23	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  ∃!wreu 3376  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  LSSumclsm 19667  LSpanclspn 20987  LVecclvec 21119  LSHypclsh 38957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lshyp 38959

This theorem is referenced by:  lshpkrlem4  39095  lshpkrlem5  39096