MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj2 19487
Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o 0 = (0g𝑊)
lspdisj2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x (𝜑𝑋𝑉)
lspdisj2.y (𝜑𝑌𝑉)
lspdisj2.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspdisj2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2
StepHypRef Expression
1 sneq 4408 . . . . . 6 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
21fveq2d 6438 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3 lspdisj2.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19466 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lspdisj2.o . . . . . . 7 0 = (0g𝑊)
7 lspdisj2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
86, 7lspsn0 19368 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
102, 9sylan9eqr 2884 . . . 4 ((𝜑𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1110ineq1d 4041 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12 lspdisj2.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
13 lspdisj2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
14 eqid 2826 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1513, 14, 7lspsncl 19337 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
165, 12, 15syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14lss0ss 19306 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
185, 16, 17syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19 df-ss 3813 . . . . 5 ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2018, 19sylib 210 . . . 4 (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2120adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
2211, 21eqtrd 2862 . 2 ((𝜑𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
233adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
2416adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25 lspdisj2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2625adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
27 lspdisj2.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2827adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2923adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
3012adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑌𝑉)
3130adantr 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
32 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋0 )
3413, 6, 7, 29, 31, 32, 33lspsneleq 19475 . . . . . 6 (((𝜑𝑋0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3534ex 403 . . . . 5 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
3635necon3ad 3013 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
3728, 36mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
3813, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37lspdisj 19485 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
3922, 38pm2.61dane 3087 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  cin 3798  wss 3799  {csn 4398  cfv 6124  Basecbs 16223  0gc0g 16454  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331  LVecclvec 19462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-0g 16456  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-oppr 18978  df-dvdsr 18996  df-unit 18997  df-invr 19027  df-drng 19106  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lvec 19463
This theorem is referenced by:  lvecindp2  19500  hdmaprnlem9N  37933
  Copyright terms: Public domain W3C validator