Theorem lspdisj2 21125

Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspdisj2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspdisj2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
2	1	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3		lspdisj2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspdisj2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspdisj2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspsn0 21003	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	2, 9	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	10	ineq1d 4159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12		lspdisj2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspdisj2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 7	lspsncl 20972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	5, 12, 15	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14	lss0ss 20944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
18	5, 16, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19		dfss2 3907	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20	18, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
22	11, 21	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
23	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		lspdisj2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lspdisj2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
30	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
34	13, 6, 7, 29, 31, 32, 33	lspsneleq 21113	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35	34	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
36	35	necon3ad 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
37	28, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
38	13, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37	lspdisj 21123	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
39	22, 38	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098

This theorem is referenced by:  lvecindp2  21137  hdmaprnlem9N  42303