Theorem lspdisj2 21062

Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspdisj2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspdisj2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
2	1	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3		lspdisj2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspdisj2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspdisj2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspsn0 20939	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	2, 9	sylan9eqr 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	10	ineq1d 4169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12		lspdisj2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspdisj2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 7	lspsncl 20908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	5, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14	lss0ss 20880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19		dfss2 3920	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20	18, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
22	11, 21	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
23	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		lspdisj2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lspdisj2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
30	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
34	13, 6, 7, 29, 31, 32, 33	lspsneleq 21050	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35	34	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
36	35	necon3ad 2941	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
37	28, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
38	13, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37	lspdisj 21060	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
39	22, 38	pm2.61dane 3015	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  0_gc0g 17340  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902  LVecclvec 21034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lvec 21035

This theorem is referenced by:  lvecindp2  21074  hdmaprnlem9N  41895