Theorem lspdisj2 20389

Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspdisj2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspdisj2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
2	1	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3		lspdisj2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspdisj2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspdisj2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspsn0 20270	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	2, 9	sylan9eqr 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	10	ineq1d 4145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12		lspdisj2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspdisj2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 7	lspsncl 20239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	5, 12, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14	lss0ss 20210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19		df-ss 3904	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20	18, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
22	11, 21	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
23	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		lspdisj2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lspdisj2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	27	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
30	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
34	13, 6, 7, 29, 31, 32, 33	lspsneleq 20377	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35	34	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
36	35	necon3ad 2956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
37	28, 36	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
38	13, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37	lspdisj 20387	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
39	22, 38	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  LVecclvec 20364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365

This theorem is referenced by:  lvecindp2  20401  hdmaprnlem9N  39871