Theorem lspdisj2 21432

Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspdisj2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspdisj2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspdisj2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspdisj2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspdisj2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspdisj2.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspdisj2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
2	1	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
3		lspdisj2.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lspdisj2.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
7		lspdisj2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
8	6, 7	lspsn0 21310	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
10	2, 9	sylan9eqr 2820	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
11	10	ineq1d 4119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})))
12		lspdisj2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		lspdisj2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
15	13, 14, 7	lspsncl 21279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	5, 12, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14	lss0ss 21251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
18	5, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
19		dfss2 4097	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
20	18, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ({ 0 } ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
22	11, 21	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
23	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25		lspdisj2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
26	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
27		lspdisj2.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
30	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ 𝑉)
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
32		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
33		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
34	13, 6, 7, 29, 31, 32, 33	lspsneleq 21420	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35	34	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
36	35	necon3ad 2972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
37	28, 36	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
38	13, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37	lspdisj 21430	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })
39	22, 38	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌})) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  {csn 4588  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  LModclmod 21162  LSubSpclss 21233  LSpanclspn 21273  LVecclvec 21404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lvec 21405

This theorem is used by:  lvecindp2  21444  hdmaprnlem9N  43105