MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspdisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspdisj2 20604
Description: Unequal spans are disjoint (share only the zero vector). (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspdisj2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspdisj2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspdisj2.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspdisj2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspdisj2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspdisj2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspdisj2.q (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspdisj2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })

Proof of Theorem lspdisj2
StepHypRef Expression
1 sneq 4597 . . . . . 6 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋} = { 0 })
21fveq2d 6847 . . . . 5 (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }))
3 lspdisj2.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20582 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lspdisj2.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘Š)
7 lspdisj2.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
86, 7lspsn0 20484 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
95, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
102, 9sylan9eqr 2795 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 })
1110ineq1d 4172 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = ({ 0 } ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})))
12 lspdisj2.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 lspdisj2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1513, 14, 7lspsncl 20453 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
165, 12, 15syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
176, 14lss0ss 20424 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}))
185, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ { 0 } βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}))
19 df-ss 3928 . . . . 5 ({ 0 } βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}) ↔ ({ 0 } ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
2018, 19sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ({ 0 } ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
2120adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ ({ 0 } ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
2211, 21eqtrd 2773 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
233adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2416adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
25 lspdisj2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2625adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
27 lspdisj2.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2827adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2923adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
3012adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3130adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
32 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
33 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ 𝑋 β‰  0 )
3413, 6, 7, 29, 31, 32, 33lspsneleq 20592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3534ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
3635necon3ad 2953 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ})))
3728, 36mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
3813, 6, 7, 14, 23, 24, 26, 37lspdisj 20602 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
3922, 38pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ})) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  0gc0g 17326  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  lvecindp2  20616  hdmaprnlem9N  40366
  Copyright terms: Public domain W3C validator