Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6b0N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6b0N 40249
Description: Lemmma for mapdh6N 40260. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdh6b0.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdh6b0.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
mapdh6b0.ne (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
mapdh6b0N (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   β„Ž,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   + (π‘₯,β„Ž)   ✚ (π‘₯,β„Ž)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh6b0N
StepHypRef Expression
1 mapdh6b0.ne . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) = { 0 })
2 mapdh.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 mapdhc.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2733 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 mapdh.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
96, 7, 8dvhlvec 39622 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
106, 7, 8dvhlmod 39623 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 mapdh6b0.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
12 mapdh6b0.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
132, 5, 4, 10, 11, 12lspprcl 20483 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
14 mapdhcl.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
152, 3, 4, 5, 9, 13, 14lspdisjb 20632 . 2 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ ((π‘β€˜{𝑋}) ∩ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) = { 0 }))
161, 15mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913  ifcif 4490  {csn 4590  {cpr 4592   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  -gcsg 18758  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dvech 39592
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator