Theorem hdmap1l6b0N 37959

Description: Lemmma for hdmap1l6 37970. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1l6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap1l6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1l6c.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1l6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap1l6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1l6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1l6.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6b0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmap1l6b0.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmap1l6b0.ne	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
hdmap1l6b0N	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Proof of Theorem hdmap1l6b0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1l6b0.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })
2		hdmap1l6.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		hdmap1l6c.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
4		hdmap1l6.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		eqid 2777	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6		hdmap1l6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmap1l6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1l6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 37258	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10	6, 7, 8	dvhlmod 37259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmap1l6b0.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		hdmap1l6b0.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13	2, 5, 4, 10, 11, 12	lspprcl 19373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14		hdmap1l6cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	2, 3, 4, 5, 9, 13, 14	lspdisjb 19521	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 }))
16	1, 15	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3788   ∩ cin 3790  {csn 4397  {cpr 4399  ‘cfv 6135  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  0_gc0g 16486  -_gcsg 17811  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  HLchlt 35499  LHypclh 36133  DVecHcdvh 37227  LCDualclcd 37735  mapdcmpd 37773  HDMap1chdma1 37940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308  df-tendo 36904  df-edring 36906  df-dvech 37228

This theorem is referenced by: (None)