Theorem hdmap1l6b0N 40386

Description: Lemmma for hdmap1l6 40397. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap1l6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
hdmap1l6.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap1l6c.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap1l6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmap1l6.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
hdmap1l6.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap1l6.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6b0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
hdmap1l6b0.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hdmap1l6b0.ne	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })

Assertion

Ref	Expression
hdmap1l6b0N	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Proof of Theorem hdmap1l6b0N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap1l6b0.ne	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 })
2		hdmap1l6.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
3		hdmap1l6c.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
4		hdmap1l6.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
6		hdmap1l6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		hdmap1l6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap1l6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 39685	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10	6, 7, 8	dvhlmod 39686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		hdmap1l6b0.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		hdmap1l6b0.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
13	2, 5, 4, 10, 11, 12	lspprcl 20518	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14		hdmap1l6cl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
15	2, 3, 4, 5, 9, 13, 14	lspdisjb 20668	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ ((𝑁‘{𝑋}) ∩ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = { 0 }))
16	1, 15	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934  {csn 4613  {cpr 4615  ‘cfv 6523  Basecbs 17116  +_gcplusg 17169  0_gc0g 17357  -_gcsg 18786  LSubSpclss 20471  LSpanclspn 20511  HLchlt 37925  LHypclh 38560  DVecHcdvh 39654  LCDualclcd 40162  mapdcmpd 40200  HDMap1chdma1 40367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159  ax-riotaBAD 37528

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-int 4935  df-iun 4983  df-iin 4984  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8184  df-undef 8231  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-map 8796  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-fz 13457  df-struct 17052  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-ress 17146  df-plusg 17182  df-mulr 17183  df-sca 17185  df-vsca 17186  df-0g 17359  df-proset 18220  df-poset 18238  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-grp 18787  df-minusg 18788  df-sbg 18789  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-oppr 20085  df-dvdsr 20106  df-unit 20107  df-invr 20137  df-dvr 20148  df-drng 20249  df-lmod 20402  df-lss 20472  df-lsp 20512  df-lvec 20643  df-oposet 37751  df-ol 37753  df-oml 37754  df-covers 37841  df-ats 37842  df-atl 37873  df-cvlat 37897  df-hlat 37926  df-llines 38074  df-lplanes 38075  df-lvols 38076  df-lines 38077  df-psubsp 38079  df-pmap 38080  df-padd 38372  df-lhyp 38564  df-laut 38565  df-ldil 38680  df-ltrn 38681  df-trl 38735  df-tendo 39331  df-edring 39333  df-dvech 39655

This theorem is referenced by: (None)