Theorem bndatandm 26899

Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bndatandm	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Proof of Theorem bndatandm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
4	3	abscld 15366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5		2nn0 12422	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		absexp 15231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
7	1, 5, 6	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
9		abscl 15205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
12		absge0 15214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
14		0le1 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ 1)
16	10, 11, 13, 15	lt2sqd 14183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2)))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2))
18		sq1 14122	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
19	17, 18	breqtrdi 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < 1)
20	7, 19	eqbrtrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) < 1)
21	4, 20	ltned 11273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1)
22		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = (abs‘-1))
23		ax-1cn 11088	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	absnegi 15328	. . . . . 6 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
25		abs1 15224	. . . . . 6 ⊢ (abs‘1) = 1
26	24, 25	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (abs‘-1) = 1
27	22, 26	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = 1)
28	27	necon3i 2965	. . 3 ⊢ ((abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1 → (𝐴↑2) ≠ -1)
29	21, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ≠ -1)
30		atandm3 26848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
31	1, 29, 30	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ↑cexp 13988  abscabs 15161  arctancatan 26834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-atan 26837

This theorem is referenced by:  atantayl  26907  log2cnv  26914