MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndatandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndatandm 25069
Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bndatandm ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Proof of Theorem bndatandm
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 13219 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43abscld 14552 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5 2nn0 11637 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 absexp 14421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
71, 5, 6sylancl 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
9 abscl 14395 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 10357 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
12 absge0 14404 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1312adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
14 0le1 10875 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ 1)
1610, 11, 13, 15lt2sqd 13339 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2)))
178, 16mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2))
18 sq1 13252 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1917, 18syl6breq 4914 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < 1)
207, 19eqbrtrd 4895 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) < 1)
214, 20ltned 10492 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1)
22 fveq2 6433 . . . . 5 ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = (abs‘-1))
23 ax-1cn 10310 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2423absnegi 14516 . . . . . 6 (abs‘-1) = (abs‘1)
25 abs1 14414 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
2624, 25eqtri 2849 . . . . 5 (abs‘-1) = 1
2722, 26syl6eq 2877 . . . 4 ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = 1)
2827necon3i 3031 . . 3 ((abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1 → (𝐴↑2) ≠ -1)
2921, 28syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ≠ -1)
30 atandm3 25018 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
311, 29, 30sylanbrc 578 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4873  dom cdm 5342  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   < clt 10391  cle 10392  -cneg 10586  2c2 11406  0cn0 11618  cexp 13154  abscabs 14351  arctancatan 25004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-atan 25007
This theorem is referenced by:  atantayl  25077  log2cnv  25084
  Copyright terms: Public domain W3C validator