MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndatandm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bndatandm 25008
Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bndatandm ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)

Proof of Theorem bndatandm
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 13179 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
32adantr 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
43abscld 14516 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ∈ ℝ)
5 2nn0 11599 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 absexp 14385 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
71, 5, 6sylancl 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
9 abscl 14359 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 10329 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
12 absge0 14368 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1312adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
14 0le1 10843 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ 1)
1610, 11, 13, 15lt2sqd 13299 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2)))
178, 16mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < (1↑2))
18 sq1 13212 . . . . . 6 (1↑2) = 1
1917, 18syl6breq 4884 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴)↑2) < 1)
207, 19eqbrtrd 4865 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) < 1)
214, 20ltned 10463 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1)
22 fveq2 6411 . . . . 5 ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = (abs‘-1))
23 ax-1cn 10282 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2423absnegi 14480 . . . . . 6 (abs‘-1) = (abs‘1)
25 abs1 14378 . . . . . 6 (abs‘1) = 1
2624, 25eqtri 2821 . . . . 5 (abs‘-1) = 1
2722, 26syl6eq 2849 . . . 4 ((𝐴↑2) = -1 → (abs‘(𝐴↑2)) = 1)
2827necon3i 3003 . . 3 ((abs‘(𝐴↑2)) ≠ 1 → (𝐴↑2) ≠ -1)
2921, 28syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑2) ≠ -1)
30 atandm3 24957 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
311, 29, 30sylanbrc 579 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ dom arctan)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   < clt 10363  cle 10364  -cneg 10557  2c2 11368  0cn0 11580  cexp 13114  abscabs 14315  arctancatan 24943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-atan 24946
This theorem is referenced by:  atantayl  25016  log2cnv  25023
  Copyright terms: Public domain W3C validator