Theorem modlt0b 47723

Description: An integer with an absolute value less than a positive integer is 0 modulo the positive integer iff it is 0. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modlt0b	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Proof of Theorem modlt0b

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
2	1	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		mod0mul 47716	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = (𝑧 · 𝑁))
6		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
8	7	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 ↔ (abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁))
9		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
10		nncn 12165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		absmul 15229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
12	9, 10, 11	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
13		nnre 12164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
16	13, 15	absidd 15358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
19	12, 18	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
20	19	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 ↔ ((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁))
21	9	abscld 15374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
23	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nngt0 12188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
25	13, 24	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
27		ltmuldiv 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
29		nnne0 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
30	10, 29	dividd 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
32	31	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁) ↔ (abs‘𝑧) < 1))
33	28, 32	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < 1))
34		zabs0b 15249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
36		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
37	10	mul02d 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 · 𝑁) = 0)
38	36, 37	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
41	35, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
42	33, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
43	20, 42	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
45	8, 44	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
46	45	expl 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
48	47	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
49	48	3impia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0))
50	49	impl 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
51	5, 50	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = 0)
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
53	52	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
54	4, 53	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → 𝑋 = 0))
55		oveq1 7375	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
56		nnrp 12929	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
57		0mod 13834	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 mod 𝑁) = 0)
59	58	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60	55, 59	sylan9eqr 2794	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 mod 𝑁) = 0)
61	60	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = 0))
62	54, 61	impbid 212	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   / cdiv 11806  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  mod2addne  47724