Theorem modlt0b 48106

Description: An integer with an absolute value less than a positive integer is 0 modulo the positive integer iff it is 0. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modlt0b	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Proof of Theorem modlt0b

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
2	1	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		mod0mul 48099	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
5		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = (𝑧 · 𝑁))
6		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
7	6	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
8	7	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 ↔ (abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁))
9		zcn 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
10		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		absmul 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
12	9, 10, 11	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
13		nnre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
16	13, 15	absidd 15470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
19	12, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
20	19	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 ↔ ((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁))
21	9	abscld 15486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
23	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nngt0 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
25	13, 24	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
27		ltmuldiv 12083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
29		nnne0 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
30	10, 29	dividd 11984	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
32	31	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁) ↔ (abs‘𝑧) < 1))
33	28, 32	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < 1))
34		zabs0b 15361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
36		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
37	10	mul02d 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 · 𝑁) = 0)
38	36, 37	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
39	38	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
41	35, 40	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
42	33, 41	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
43	20, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
44	43	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
45	8, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
46	45	expl 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
47	46	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
48	47	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
49	48	3impia 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0))
50	49	impl 460	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
51	5, 50	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = 0)
52	51	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
53	52	rexlimdva 3166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
54	4, 53	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → 𝑋 = 0))
55		oveq1 7417	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
56		nnrp 13023	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
57		0mod 13931	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
58	56, 57	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 mod 𝑁) = 0)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60	55, 59	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 mod 𝑁) = 0)
61	60	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = 0))
62	54, 61	impbid 215	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   · cmul 11100   < clt 11238   / cdiv 11866  ℕcn 12228  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283

This theorem is referenced by:  mod2addne  48107