Theorem modlt0b 47354

Description: An integer with an absolute value less than a positive integer is 0 modulo the positive integer iff it is 0. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modlt0b	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Proof of Theorem modlt0b

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
2	1	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		mod0mul 47347	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = (𝑧 · 𝑁))
6		fveq2 6860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
8	7	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 ↔ (abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁))
9		zcn 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
10		nncn 12195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		absmul 15266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
12	9, 10, 11	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
13		nnre 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnnn0 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
16	13, 15	absidd 15395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
19	12, 18	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
20	19	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 ↔ ((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁))
21	9	abscld 15411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
23	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nngt0 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
25	13, 24	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
27		ltmuldiv 12062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
29		nnne0 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
30	10, 29	dividd 11962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
32	31	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁) ↔ (abs‘𝑧) < 1))
33	28, 32	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < 1))
34		zabs0b 15286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
36		oveq1 7396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
37	10	mul02d 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 · 𝑁) = 0)
38	36, 37	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
39	38	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
41	35, 40	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
42	33, 41	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
43	20, 42	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
45	8, 44	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
46	45	expl 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
48	47	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
49	48	3impia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0))
50	49	impl 455	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
51	5, 50	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = 0)
52	51	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
53	52	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
54	4, 53	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → 𝑋 = 0))
55		oveq1 7396	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
56		nnrp 12969	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
57		0mod 13870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 mod 𝑁) = 0)
59	58	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60	55, 59	sylan9eqr 2787	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 mod 𝑁) = 0)
61	60	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = 0))
62	54, 61	impbid 212	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   · cmul 11079   < clt 11214   / cdiv 11841  ℕcn 12187  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957   mod cmo 13837  abscabs 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208

This theorem is referenced by:  mod2addne  47355