Theorem modlt0b 48139

Description: An integer with an absolute value less than a positive integer is 0 modulo the positive integer iff it is 0. (Contributed by AV, 21-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
modlt0b	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

Proof of Theorem modlt0b

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 465	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
2	1	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
3		mod0mul 48132	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)))
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = (𝑧 · 𝑁))
6		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
7	6	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (abs‘𝑋) = (abs‘(𝑧 · 𝑁)))
8	7	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 ↔ (abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁))
9		zcn 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
10		nncn 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		absmul 15365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
12	9, 10, 11	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)))
13		nnre 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnnn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
16	13, 15	absidd 15494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
18	17	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) · (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
19	12, 18	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑧 · 𝑁)) = ((abs‘𝑧) · 𝑁))
20	19	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 ↔ ((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁))
21	9	abscld 15510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
23	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		nngt0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
25	13, 24	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
27		ltmuldiv 12099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
28	22, 23, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁)))
29		nnne0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
30	10, 29	dividd 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
32	31	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < (𝑁 / 𝑁) ↔ (abs‘𝑧) < 1))
33	28, 32	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 ↔ (abs‘𝑧) < 1))
34		zabs0b 15385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 ↔ 𝑧 = 0))
36		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
37	10	mul02d 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 · 𝑁) = 0)
38	36, 37	sylan9eqr 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 = 0) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
39	38	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 = 0 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
41	35, 40	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑧) < 1 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
42	33, 41	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑧) · 𝑁) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
43	20, 42	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘(𝑧 · 𝑁)) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
45	8, 44	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0))
46	45	expl 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
48	47	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑋) < 𝑁 → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)))
49	48	3impia 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0))
50	49	impl 461	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → (𝑧 · 𝑁) = 0)
51	5, 50	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁)) → 𝑋 = 0)
52	51	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
53	52	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑋 = (𝑧 · 𝑁) → 𝑋 = 0))
54	4, 53	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 → 𝑋 = 0))
55		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = (0 mod 𝑁))
56		nnrp 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
57		0mod 13949	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (0 mod 𝑁) = 0)
58	56, 57	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 mod 𝑁) = 0)
59	58	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (0 mod 𝑁) = 0)
60	55, 59	sylan9eqr 2822	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋 mod 𝑁) = 0)
61	60	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → (𝑋 = 0 → (𝑋 mod 𝑁) = 0))
62	54, 61	impbid 215	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑁) → ((𝑋 mod 𝑁) = 0 ↔ 𝑋 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   < clt 11254   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13028   mod cmo 13916  abscabs 15305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307

This theorem is used by:  mod2addne  48140