Theorem nfermltlrev 47618

Description: Fermat's little theorem reversed is not generally true: There are integers 𝑎 and 𝑝 so that "𝑝 is prime" does not follow from 𝑎↑𝑝≡𝑎 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltlrev	⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Distinct variable group:   𝑝,𝑎

Proof of Theorem nfermltlrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	elexi 3511	. . 3 ⊢ 8 ∈ V
3		eleq1 2832	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 8 ∈ ℤ))
4		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎↑𝑝) = (8↑𝑝))
5	4	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑𝑝) mod 𝑝))
6		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 mod 𝑝) = (8 mod 𝑝))
7	5, 6	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 8 → (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) ↔ ((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝)))
8	7	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 8 → ((((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 8 → (¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
10	9	rexbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
11	3, 10	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))))
12	1	nnzi 12667	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℤ
13		nfermltl8rev 47616	. . . 4 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
14	12, 13	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
15	2, 11, 14	ceqsexv2d 3545	. 2 ⊢ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
16		df-rex 3077	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
17	15, 16	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℕcn 12293  3c3 12349  8c8 12354  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903   mod cmo 13920  ↑cexp 14112  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by: (None)