Theorem nfermltlrev 46897

Description: Fermat's little theorem reversed is not generally true: There are integers 𝑎 and 𝑝 so that "𝑝 is prime" does not follow from 𝑎↑𝑝≡𝑎 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltlrev	⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Distinct variable group:   𝑝,𝑎

Proof of Theorem nfermltlrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12304	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	elexi 3486	. . 3 ⊢ 8 ∈ V
3		eleq1 2813	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 8 ∈ ℤ))
4		oveq1 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎↑𝑝) = (8↑𝑝))
5	4	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑𝑝) mod 𝑝))
6		oveq1 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 mod 𝑝) = (8 mod 𝑝))
7	5, 6	eqeq12d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 8 → (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) ↔ ((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝)))
8	7	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 8 → ((((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 8 → (¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
10	9	rexbidv 3170	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
11	3, 10	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))))
12	1	nnzi 12583	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℤ
13		nfermltl8rev 46895	. . . 4 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
14	12, 13	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
15	2, 11, 14	ceqsexv2d 3521	. 2 ⊢ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
16		df-rex 3063	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
17	15, 16	mpbir 230	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℕcn 12209  3c3 12265  8c8 12270  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819   mod cmo 13831  ↑cexp 14024  ℙcprime 16605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-prm 16606

This theorem is referenced by: (None)