Theorem nfermltlrev 47677

Description: Fermat's little theorem reversed is not generally true: There are integers 𝑎 and 𝑝 so that "𝑝 is prime" does not follow from 𝑎↑𝑝≡𝑎 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltlrev	⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Distinct variable group:   𝑝,𝑎

Proof of Theorem nfermltlrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 12344	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	elexi 3487	. . 3 ⊢ 8 ∈ V
3		eleq1 2821	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 8 ∈ ℤ))
4		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎↑𝑝) = (8↑𝑝))
5	4	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑𝑝) mod 𝑝))
6		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 mod 𝑝) = (8 mod 𝑝))
7	5, 6	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 8 → (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) ↔ ((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝)))
8	7	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 8 → ((((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
9	8	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 8 → (¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
10	9	rexbidv 3166	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
11	3, 10	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))))
12	1	nnzi 12625	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℤ
13		nfermltl8rev 47675	. . . 4 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
14	12, 13	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
15	2, 11, 14	ceqsexv2d 3517	. 2 ⊢ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
16		df-rex 3060	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
17	15, 16	mpbir 231	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℕcn 12249  3c3 12305  8c8 12310  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861   mod cmo 13892  ↑cexp 14085  ℙcprime 16691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-dvds 16274  df-prm 16692

This theorem is referenced by: (None)