Theorem nfermltlrev 44629

Description: Fermat's little theorem reversed is not generally true: There are integers 𝑎 and 𝑝 so that "𝑝 is prime" does not follow from 𝑎↑𝑝≡𝑎 (mod 𝑝). (Contributed by AV, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nfermltlrev	⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Distinct variable group:   𝑝,𝑎

Proof of Theorem nfermltlrev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 11769	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
2	1	elexi 3429	. . 3 ⊢ 8 ∈ V
3		eleq1 2839	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 8 ∈ ℤ))
4		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎↑𝑝) = (8↑𝑝))
5	4	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = ((8↑𝑝) mod 𝑝))
6		oveq1 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 8 → (𝑎 mod 𝑝) = (8 mod 𝑝))
7	5, 6	eqeq12d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 8 → (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) ↔ ((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝)))
8	7	imbi1d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 8 → ((((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
9	8	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 8 → (¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
10	9	rexbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 8 → (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
11	3, 10	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑎 = 8 → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))))
12	1	nnzi 12045	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℤ
13		nfermltl8rev 44627	. . . 4 ⊢ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
14	12, 13	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((8↑𝑝) mod 𝑝) = (8 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
15	2, 11, 14	ceqsexv2d 3459	. 2 ⊢ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ))
16		df-rex 3076	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ ℤ ∧ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)))
17	15, 16	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘3) ¬ (((𝑎↑𝑝) mod 𝑝) = (𝑎 mod 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℕcn 11674  3c3 11730  8c8 11735  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282   mod cmo 13286  ↑cexp 13479  ℙcprime 16067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-prm 16068

This theorem is referenced by: (None)