Theorem hhcno 31806

Description: The continuous operators of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcn.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
hhcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hhcno	⊢ ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem hhcno

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3419	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
2		df-cnop 31742	. 2 ⊢ ContOp = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
3		hhcn.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
4	3	hilmetdval 31098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)))
5		normsub 31045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
6	4, 5	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
7	6	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
8	7	breq1d 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧))
9		ffvelcdm 7090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑥) ∈ ℋ)
10		ffvelcdm 7090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ)
11	9, 10	anim12dan 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ))
12	3	hilmetdval 31098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑥) −ℎ (𝑡‘𝑤))))
13		normsub 31045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑡‘𝑥) −ℎ (𝑡‘𝑤))) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
14	12, 13	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
16	15	anassrs 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
17	16	breq1d 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))
18	8, 17	imbi12d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
19	18	ralbidva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	rexbidv 3168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	ralbidv 3167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidva 3165	. . . . 5 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	pm5.32i 573	. . . 4 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
24	3	hilxmet 31097	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
25		hhcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
26	25, 25	metcn 24513	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦))))
27	24, 24, 26	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)))
28		ax-hilex 30901	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
29	28, 28	elmap 8890	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
30	29	anbi1i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
31	23, 27, 30	3bitr4i 302	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
32	31	eqabi 2861	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
33	1, 2, 32	3eqtr4i 2763	1 ⊢ ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5682  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845   < clt 11285  ℝ⁺crp 13014  ∞Metcxmet 21298  MetOpencmopn 21303   Cn ccn 23189   ℋchba 30821  norm_ℎcno 30825   −_ℎ cmv 30827  ContOpccop 30848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225  ax-hilex 30901  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr1 30910  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-topgen 17444  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22857  df-topon 22874  df-bases 22910  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-grpo 30395  df-gid 30396  df-ginv 30397  df-gdiv 30398  df-ablo 30447  df-vc 30461  df-nv 30494  df-va 30497  df-ba 30498  df-sm 30499  df-0v 30500  df-vs 30501  df-nmcv 30502  df-ims 30503  df-hnorm 30870  df-hvsub 30873  df-cnop 31742

This theorem is referenced by:  hmopidmchi  32053