Theorem hhcno 32386

Description: The continuous operators of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hhcn.1	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
hhcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
hhcno	⊢ ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem hhcno

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3415	. 2 ⊢ {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
2		df-cnop 32322	. 2 ⊢ ContOp = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
3		hhcn.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )
4	3	hilmetdval 31678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)))
5		normsub 31625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑥 −ℎ 𝑤)) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
6	4, 5	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
7	6	adantll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)))
8	7	breq1d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧))
9		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑥) ∈ ℋ)
10		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ)
11	9, 10	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ))
12	3	hilmetdval 31678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑥) −ℎ (𝑡‘𝑤))))
13		normsub 31625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑡‘𝑥) −ℎ (𝑡‘𝑤))) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
14	12, 13	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡‘𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
15	11, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
16	15	anassrs 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) = (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))))
17	16	breq1d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))
18	8, 17	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
19	18	ralbidva 3185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
20	19	rexbidv 3188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
21	20	ralbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
22	21	ralbidva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
23	22	pm5.32i 585	. . . 4 ⊢ ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
24	3	hilxmet 31677	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
25		hhcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
26	25, 25	metcn 24773	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦))))
27	24, 24, 26	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡‘𝑥)𝐷(𝑡‘𝑤)) < 𝑦)))
28		ax-hilex 31481	. . . . . 6 ⊢ ℋ ∈ V
29	28, 28	elmap 8881	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
30	29	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
31	23, 27, 30	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)))
32	31	eqabi 2897	. 2 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (normℎ‘((𝑡‘𝑤) −ℎ (𝑡‘𝑥))) < 𝑦))}
33	1, 2, 32	3eqtr4i 2795	1 ⊢ ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   class class class wbr 5107   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829   < clt 11270  ℝ⁺crp 13044  ∞Metcxmet 21574  MetOpencmopn 21579   Cn ccn 23453   ℋchba 31401  norm_ℎcno 31405   −_ℎ cmv 31407  ContOpccop 31428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207  ax-hilex 31481  ax-hfvadd 31482  ax-hvcom 31483  ax-hvass 31484  ax-hv0cl 31485  ax-hvaddid 31486  ax-hfvmul 31487  ax-hvmulid 31488  ax-hvmulass 31489  ax-hvdistr1 31490  ax-hvdistr2 31491  ax-hvmul0 31492  ax-hfi 31561  ax-his1 31564  ax-his2 31565  ax-his3 31566  ax-his4 31567

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-topgen 17532  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-top 23123  df-topon 23140  df-bases 23175  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-grpo 30975  df-gid 30976  df-ginv 30977  df-gdiv 30978  df-ablo 31027  df-vc 31041  df-nv 31074  df-va 31077  df-ba 31078  df-sm 31079  df-0v 31080  df-vs 31081  df-nmcv 31082  df-ims 31083  df-hnorm 31450  df-hvsub 31453  df-cnop 32322

This theorem is used by:  hmopidmchi  32633