Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hhcno 29317
 Description: The continuous operators of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1 𝐷 = (norm ∘ − )
hhcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
hhcno ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)

Proof of Theorem hhcno
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 3125 . 2 {𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)} = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
2 df-cnop 29253 . 2 ContOp = {𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)}
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐷 = (norm ∘ − )
43hilmetdval 28607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑥 𝑤)))
5 normsub 28554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑥 𝑤)) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
64, 5eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
76adantll 707 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥𝐷𝑤) = (norm‘(𝑤 𝑥)))
87breq1d 4882 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 ↔ (norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧))
9 ffvelrn 6605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑡𝑥) ∈ ℋ)
10 ffvelrn 6605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑡𝑤) ∈ ℋ)
119, 10anim12dan 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ))
123hilmetdval 28607 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))))
13 normsub 28554 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑡𝑥) − (𝑡𝑤))) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1412, 13eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑡𝑤) ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1615anassrs 461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) = (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))))
1716breq1d 4882 . . . . . . . . . 10 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦 ↔ (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))
188, 17imbi12d 336 . . . . . . . . 9 (((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
1918ralbidva 3193 . . . . . . . 8 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2019rexbidv 3261 . . . . . . 7 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2120ralbidv 3194 . . . . . 6 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2221ralbidva 3193 . . . . 5 (𝑡: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
2322pm5.32i 572 . . . 4 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
243hilxmet 28606 . . . . 5 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)
25 hhcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2625, 25metcn 22717 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘ ℋ)) → (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦))))
2724, 24, 26mp2an 685 . . . 4 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((𝑥𝐷𝑤) < 𝑧 → ((𝑡𝑥)𝐷(𝑡𝑤)) < 𝑦)))
28 ax-hilex 28410 . . . . . 6 ℋ ∈ V
2928, 28elmap 8150 . . . . 5 (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ↔ 𝑡: ℋ⟶ ℋ)
3029anbi1i 619 . . . 4 ((𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3123, 27, 303bitr4i 295 . . 3 (𝑡 ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦)))
3231abbi2i 2942 . 2 (𝐽 Cn 𝐽) = {𝑡 ∣ (𝑡 ∈ ( ℋ ↑𝑚 ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℋ ((norm‘(𝑤 𝑥)) < 𝑧 → (norm‘((𝑡𝑤) − (𝑡𝑥))) < 𝑦))}
331, 2, 323eqtr4i 2858 1 ContOp = (𝐽 Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {cab 2810  ∀wral 3116  ∃wrex 3117  {crab 3120   class class class wbr 4872   ∘ ccom 5345  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ↑𝑚 cmap 8121   < clt 10390  ℝ+crp 12111  ∞Metcxmet 20090  MetOpencmopn 20095   Cn ccn 21398   ℋchba 28330  normℎcno 28334   −ℎ cmv 28336  ContOpccop 28357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331  ax-hilex 28410  ax-hfvadd 28411  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvmulass 28418  ax-hvdistr1 28419  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421  ax-hfi 28490  ax-his1 28493  ax-his2 28494  ax-his3 28495  ax-his4 28496 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-topgen 16456  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-top 21068  df-topon 21085  df-bases 21120  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-hnorm 28379  df-hvsub 28382  df-cnop 29253 This theorem is referenced by:  hmopidmchi  29564
 Copyright terms: Public domain W3C validator