Theorem ocvsscon 21610

Description: Two ways to say that 𝑆 and 𝑇 are orthogonal subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvsscon	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvsscon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvlsp.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvocv 21606	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
5	2	ocv2ss 21608	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
6		sstr2 3941	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2im 40	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
8	1, 2	ocvocv 21606	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
9	8	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
10	2	ocv2ss 21608	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑇))
11		sstr2 3941	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇)))
12	9, 10, 11	syl2im 40	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇)))
13	7, 12	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  PreHilcphl 21559  ocvcocv 21595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-ghm 19123  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-rhm 20388  df-staf 20752  df-srng 20753  df-lmod 20793  df-lmhm 20954  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-phl 21561  df-ocv 21598

This theorem is referenced by: (None)