MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvsscon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvsscon 20870
Description: Two ways to say that 𝑆 and 𝑇 are orthogonal subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvsscon ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))

Proof of Theorem ocvsscon
StepHypRef Expression
1 ocvlsp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvlsp.o . . . . 5 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvocv 20866 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
433adant2 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
52ocv2ss 20868 . . 3 (𝑆 ⊆ ( 𝑇) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ ( 𝑆))
6 sstr2 3933 . . 3 (𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)) → (( ‘( 𝑇)) ⊆ ( 𝑆) → 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
74, 5, 6syl2im 40 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) → 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
81, 2ocvocv 20866 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
983adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
102ocv2ss 20868 . . 3 (𝑇 ⊆ ( 𝑆) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( 𝑇))
11 sstr2 3933 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → (( ‘( 𝑆)) ⊆ ( 𝑇) → 𝑆 ⊆ ( 𝑇)))
129, 10, 11syl2im 40 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑇 ⊆ ( 𝑆) → 𝑆 ⊆ ( 𝑇)))
137, 12impbid 211 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  cfv 6431  Basecbs 16902  PreHilcphl 20819  ocvcocv 20855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-tpos 8027  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-base 16903  df-plusg 16965  df-mulr 16966  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-0g 17142  df-mgm 18316  df-sgrp 18365  df-mnd 18376  df-mhm 18420  df-grp 18570  df-ghm 18822  df-mgp 19711  df-ur 19728  df-ring 19775  df-oppr 19852  df-rnghom 19949  df-staf 20095  df-srng 20096  df-lmod 20115  df-lmhm 20274  df-lvec 20355  df-sra 20424  df-rgmod 20425  df-phl 20821  df-ocv 20858
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator