Theorem ocvsscon 21648

Description: Two ways to say that 𝑆 and 𝑇 are orthogonal subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvsscon	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))

Proof of Theorem ocvsscon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvlsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		ocvlsp.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	ocvocv 21644	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)))
5	2	ocv2ss 21646	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆))
6		sstr2 3970	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑇)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
7	4, 5, 6	syl2im 40	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))
8	1, 2	ocvocv 21644	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
9	8	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)))
10	2	ocv2ss 21646	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑇))
11		sstr2 3970	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑆)) ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇)))
12	9, 10, 11	syl2im 40	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇)))
13	7, 12	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ ( ⊥ ‘𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( ⊥ ‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  PreHilcphl 21597  ocvcocv 21633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-0g 17458  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-grp 18924  df-ghm 19201  df-mgp 20107  df-ur 20148  df-ring 20201  df-oppr 20303  df-rhm 20441  df-staf 20809  df-srng 20810  df-lmod 20829  df-lmhm 20990  df-lvec 21071  df-sra 21141  df-rgmod 21142  df-phl 21599  df-ocv 21636

This theorem is referenced by: (None)