Theorem primrootscoprf 42134

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots, as a function. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprf.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprf.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprf.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprf.5	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprf	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑅 ∈ CMnd)
3		primrootscoprf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐸 ∈ ℕ)
7		primrootscoprf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
10		eqid 2731	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)}
11	2, 4, 6, 8, 9, 10	primrootscoprmpow 42132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑚) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
12		primrootscoprf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
13	11, 12	fmptd 7042	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002  ℕcn 12120   gcd cgcd 16400  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  0_gc0g 17338  ._gcmg 18975  CMndccmn 19687   PrimRoots cprimroots 42124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-primroots 42125

This theorem is referenced by:  primrootscoprbij  42135