Theorem primrootscoprf 42061

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots, as a function. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprf.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprf.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprf.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprf.5	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprf	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑅 ∈ CMnd)
3		primrootscoprf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐸 ∈ ℕ)
7		primrootscoprf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)}
11	2, 4, 6, 8, 9, 10	primrootscoprmpow 42059	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑚) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
12		primrootscoprf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
13	11, 12	fmptd 7114	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3419   ↦ cmpt 5205  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1c1 11138  ℕcn 12248   gcd cgcd 16513  Basecbs 17229  +_gcplusg 17273  0_gc0g 17455  ._gcmg 19054  CMndccmn 19766   PrimRoots cprimroots 42051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-mulg 19055  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-primroots 42052

This theorem is referenced by:  primrootscoprbij  42062