Theorem primrootscoprf 43343

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots, as a function. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprf.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprf.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprf.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprf.5	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprf	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑅 ∈ CMnd)
3		primrootscoprf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐸 ∈ ℕ)
7		primrootscoprf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)}
11	2, 4, 6, 8, 9, 10	primrootscoprmpow 43341	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑚) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
12		primrootscoprf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
13	11, 12	fmptd 7138	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228  ℕcn 12362   gcd cgcd 16693  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  ._gcmg 19306  CMndccmn 20024   PrimRoots cprimroots 43333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-mulg 19307  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-primroots 43334

This theorem is used by:  primrootscoprbij  43344