Theorem primrootscoprf 42586

Description: Coprime powers of primitive roots are primitive roots, as a function. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootscoprf.1	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
primrootscoprf.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootscoprf.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootscoprf.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
primrootscoprf.5	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)

Assertion

Ref	Expression
primrootscoprf	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐾   𝑅,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑚)   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem primrootscoprf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootscoprf.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑅 ∈ CMnd)
3		primrootscoprf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5		primrootscoprf.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝐸 ∈ ℕ)
7		primrootscoprf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸 gcd 𝐾) = 1)
9		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
10		eqid 2739	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅)}
11	2, 4, 6, 8, 9, 10	primrootscoprmpow 42584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾)) → (𝐸(.g‘𝑅)𝑚) ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾))
12		primrootscoprf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ (𝑅 PrimRoots 𝐾) ↦ (𝐸(.g‘𝑅)𝑚))
13	11, 12	fmptd 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 PrimRoots 𝐾)⟶(𝑅 PrimRoots 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  {crab 3391   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  ℕcn 12165   gcd cgcd 16454  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  ._gcmg 19034  CMndccmn 19746   PrimRoots cprimroots 42576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-primroots 42577

This theorem is referenced by:  primrootscoprbij  42587