Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsexpr 15800
 Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 11620 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 prmdvdsexpb 15799 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
32biimpd 221 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
433expia 1154 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
5 prmnn 15760 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
65adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℕ)
76nncnd 11368 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
87exp0d 13296 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄↑0) = 1)
98breq2d 4885 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) ↔ 𝑃 ∥ 1))
10 nprmdvds1 15789 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1110pm2.21d 119 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
1211adantr 474 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
139, 12sylbid 232 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄))
14 oveq2 6913 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑄𝑁) = (𝑄↑0))
1514breq2d 4885 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑0)))
1615imbi1d 333 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄)))
1713, 16syl5ibrcom 239 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
184, 17jaod 890 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
191, 18syl5bi 234 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
20193impia 1149 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253  ℕcn 11350  ℕ0cn0 11618  ↑cexp 13154   ∥ cdvds 15357  ℙcprime 15757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758 This theorem is referenced by:  pcprmpw2  15957  pcmpt  15967  pgpfi  18371  ablfac1eulem  18825  isppw2  25254
 Copyright terms: Public domain W3C validator