Theorem prmdvdsexpr 16665

Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsexpr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Proof of Theorem prmdvdsexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12423	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		prmdvdsexpb 16664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
3	2	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))
4	3	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
5		prmnn 16622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
8	7	exp0d 14084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑄↑0) = 1)
9	8	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) ↔ 𝑃 ∥ 1))
10		nprmdvds1 16654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
11	10	pm2.21d 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 = 𝑄))
13	9, 12	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄))
14		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑄↑𝑁) = (𝑄↑0))
15	14	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄↑0)))
16	15	imbi1d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑃 ∥ (𝑄↑0) → 𝑃 = 𝑄)))
17	13, 16	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = 0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
18	4, 17	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
19	1, 18	biimtrid 242	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄)))
20	19	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ (𝑄↑𝑁) → 𝑃 = 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7370  0cc0 11047  1c1 11048  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12421  ↑cexp 14005   ∥ cdvds 16200  ℙcprime 16619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-sup 9370  df-inf 9371  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12931  df-fl 13733  df-mod 13811  df-seq 13946  df-exp 14006  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16201  df-gcd 16443  df-prm 16620

This theorem is referenced by:  pcprmpw2  16831  pcmpt  16841  pgpfi  19521  ablfac1eulem  19990  isppw2  27060  2sqr3nconstr  33766  cos9thpinconstrlem2  33775  aks6d1c2p2  42102