Theorem isppw2 27424

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw2	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑝,𝐴

Proof of Theorem isppw2

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isppw 27423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴))
2		reu6 3684	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
3		equid 2045	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑝 = 𝑝
4		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
5		equequ1 2058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 = 𝑝 ↔ 𝑝 = 𝑝))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝)))
7	6	rspcva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
8	7	adantll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
9	3, 8	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
10		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
11		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		pcelnn 17028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
14	9, 13	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
15		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 = 𝑝)
16	15	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
17		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
18		pccl 17007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 12699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22		pcid 17031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
23	17, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
24	16, 23	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
25	15	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
26	24, 25	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
27		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
28	27	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (¬ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝))
29	28	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ 𝐴)
30		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ∈ ℙ)
31		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		pceq0 17029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
34	29, 33	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = 0)
35		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℙ)
36		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℙ)
37	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
38		prmdvdsexpr 16873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
40	39	con3dimp 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
41		prmnn 16829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
42	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42, 19	nnexpcld 14369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
44	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
45		pceq0 17029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
46	30, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
47	40, 46	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0)
48	34, 47	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
49	26, 48	pm2.61dan 825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
50	49	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
51	50	ralimdva 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
52	51	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
53		nnnn0 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	43	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
56	55	nnnn0d 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
57		pc11 17038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58	54, 56, 57	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	52, 58	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
60		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑝 pCnt 𝐴) → (𝑝↑𝑘) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
61	60	rspceeqv 3599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
62	14, 59, 61	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
63	62	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
64		prmdvdsexpb 16872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
65	64	3coml 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
66	65	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
67	66	ralrimiva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
68	67	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
69		breq2 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘)))
70	69	bibi1d 346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
71	70	ralbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
72	68, 71	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
73	72	rexlimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
74	63, 73	impbid 215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
75	74	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
76	2, 75	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
77	1, 76	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ↑cexp 14184   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826   pCnt cpc 16994  Λcvma 27401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-pc 16995  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-vma 27407

This theorem is used by:  vmacl  27427  efvmacl  27429  vma1  27475  vmalelog  27514  fsumvma  27522