Theorem isppw2 27159

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw2	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑝,𝐴

Proof of Theorem isppw2

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isppw 27158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴))
2		reu6 3731	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
3		equid 2010	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑝 = 𝑝
4		breq1 5145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
5		equequ1 2023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 = 𝑝 ↔ 𝑝 = 𝑝))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝)))
7	6	rspcva 3619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
8	7	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
9	3, 8	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
11		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		pcelnn 16909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
14	9, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 = 𝑝)
16	15	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
18		pccl 16888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22		pcid 16912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
24	16, 23	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
25	15	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
26	24, 25	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
27		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
28	27	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (¬ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝))
29	28	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ 𝐴)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ∈ ℙ)
31		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		pceq0 16910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = 0)
35		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℙ)
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℙ)
37	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
38		prmdvdsexpr 16755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
40	39	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
41		prmnn 16712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42, 19	nnexpcld 14285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
45		pceq0 16910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
46	30, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
47	40, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0)
48	34, 47	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
49	26, 48	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
50	49	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
51	50	ralimdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
53		nnnn0 12535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
56	55	nnnn0d 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
57		pc11 16919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
60		oveq2 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑝 pCnt 𝐴) → (𝑝↑𝑘) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
61	60	rspceeqv 3644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
62	14, 59, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
64		prmdvdsexpb 16754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
65	64	3coml 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
66	65	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
67	66	ralrimiva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
68	67	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
69		breq2 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘)))
70	69	bibi1d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
71	70	ralbidv 3177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
72	68, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
73	72	rexlimdva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
74	63, 73	impbid 212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
75	74	rexbidva 3176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
76	2, 75	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
77	1, 76	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3377   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  ℕcn 12267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14103   ∥ cdvds 16291  ℙcprime 16709   pCnt cpc 16875  Λcvma 27136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-vma 27142

This theorem is referenced by:  vmacl  27162  efvmacl  27164  vma1  27210  vmalelog  27250  fsumvma  27258