Theorem isppw2 27081

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw2	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑝,𝐴

Proof of Theorem isppw2

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isppw 27080	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴))
2		reu6 3684	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
3		equid 2013	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑝 = 𝑝
4		breq1 5101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
5		equequ1 2026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 = 𝑝 ↔ 𝑝 = 𝑝))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝)))
7	6	rspcva 3574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
8	7	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
9	3, 8	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
11		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		pcelnn 16798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
14	9, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 = 𝑝)
16	15	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
18		pccl 16777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22		pcid 16801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
24	16, 23	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
25	15	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
26	24, 25	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
27		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
28	27	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (¬ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝))
29	28	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ 𝐴)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ∈ ℙ)
31		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		pceq0 16799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = 0)
35		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℙ)
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℙ)
37	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
38		prmdvdsexpr 16644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
40	39	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
41		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42, 19	nnexpcld 14168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
45		pceq0 16799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
46	30, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
47	40, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0)
48	34, 47	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
49	26, 48	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
50	49	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
51	50	ralimdva 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
53		nnnn0 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
56	55	nnnn0d 12462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
57		pc11 16808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
60		oveq2 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑝 pCnt 𝐴) → (𝑝↑𝑘) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
61	60	rspceeqv 3599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
62	14, 59, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
64		prmdvdsexpb 16643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
65	64	3coml 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
66	65	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
67	66	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
68	67	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
69		breq2 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘)))
70	69	bibi1d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
71	70	ralbidv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
72	68, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
73	72	rexlimdva 3137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
74	63, 73	impbid 212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
75	74	rexbidva 3158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
76	2, 75	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
77	1, 76	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3348   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ↑cexp 13984   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764  Λcvma 27058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-vma 27064

This theorem is referenced by:  vmacl  27084  efvmacl  27086  vma1  27132  vmalelog  27172  fsumvma  27180