Theorem isppw2 27082

Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isppw2	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝑘,𝑝,𝐴

Proof of Theorem isppw2

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isppw 27081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴))
2		reu6 3714	. . 3 ⊢ (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
3		equid 2012	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑝 = 𝑝
4		breq1 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
5		equequ1 2025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 = 𝑝 ↔ 𝑝 = 𝑝))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝)))
7	6	rspcva 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
8	7	adantll 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑝 = 𝑝))
9	3, 8	mpbiri 258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝐴)
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
11		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12		pcelnn 16895	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∥ 𝐴))
14	9, 13	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 = 𝑝)
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
18		pccl 16874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
19	18	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
21	20	nn0zd 12619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22		pcid 16898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
23	17, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
24	16, 23	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
25	15	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
26	24, 25	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
27		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))
28	27	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (¬ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝))
29	28	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ 𝐴)
30		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ∈ ℙ)
31		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝐴 ∈ ℕ)
32		pceq0 16896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ 𝐴))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = 0)
35		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℙ)
36		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℙ)
37	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
38		prmdvdsexpr 16741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
40	39	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
41		prmnn 16698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
43	42, 19	nnexpcld 14268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
44	43	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
45		pceq0 16896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
46	30, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
47	40, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0)
48	34, 47	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
49	26, 48	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
50	49	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
51	50	ralimdva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
53		nnnn0 12513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
55	43	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
56	55	nnnn0d 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
57		pc11 16905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
59	52, 58	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
60		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑝 pCnt 𝐴) → (𝑝↑𝑘) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
61	60	rspceeqv 3629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
62	14, 59, 61	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
64		prmdvdsexpb 16740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
65	64	3coml 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
66	65	3expa 1118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
67	66	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
68	67	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
69		breq2 5128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘)))
70	69	bibi1d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
71	70	ralbidv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝↑𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
72	68, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
73	72	rexlimdva 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝)))
74	63, 73	impbid 212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
75	74	rexbidva 3163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝐴 ↔ 𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
76	2, 75	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
77	1, 76	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ∃!wreu 3362   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695   pCnt cpc 16861  Λcvma 27059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-pc 16862  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522  df-vma 27065

This theorem is referenced by:  vmacl  27085  efvmacl  27087  vma1  27133  vmalelog  27173  fsumvma  27181