MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isppw2 27173
Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑝,𝐴

Proof of Theorem isppw2
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isppw 27172 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝐴))
2 reu6 3735 . . 3 (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))
3 equid 2009 . . . . . . . . 9 𝑝 = 𝑝
4 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝐴𝑝𝐴))
5 equequ1 2022 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 = 𝑝𝑝 = 𝑝))
64, 5bibi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑝𝐴𝑝 = 𝑝)))
76rspcva 3620 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝑝𝐴𝑝 = 𝑝))
87adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝑝𝐴𝑝 = 𝑝))
93, 8mpbiri 258 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → 𝑝𝐴)
10 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
11 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ)
12 pcelnn 16904 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝐴))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝐴))
149, 13mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
15 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 = 𝑝)
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt 𝐴))
17 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
18 pccl 16883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
1918ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
2120nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22 pcid 16907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
2317, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt 𝐴))
2416, 23eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
2515oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = (𝑝 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
2624, 25eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
27 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))
2827notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → (¬ 𝑞𝐴 ↔ ¬ 𝑞 = 𝑝))
2928biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞𝐴)
30 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝑞 ∈ ℙ)
31 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → 𝐴 ∈ ℕ)
32 pceq0 16905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝐴))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt 𝐴) = 0 ↔ ¬ 𝑞𝐴))
3429, 33mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = 0)
35 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → 𝑞 ∈ ℙ)
36 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → 𝑝 ∈ ℙ)
3719adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
38 prmdvdsexpr 16751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) → 𝑞 = 𝑝))
4039con3dimp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
41 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
4342, 19nnexpcld 14281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
4443ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
45 pceq0 16905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
4630, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0 ↔ ¬ 𝑞 ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
4740, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) = 0)
4834, 47eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) ∧ ¬ 𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
4926, 48pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝))) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
5049expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) → (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
5150ralimdva 3165 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
5251imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))))
53 nnnn0 12531 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
5453ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5543adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
5655nnnn0d 12585 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0)
57 pc11 16914 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → (𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt 𝐴) = (𝑞 pCnt (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))))
5952, 58mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
60 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑝 pCnt 𝐴) → (𝑝𝑘) = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴)))
6160rspceeqv 3645 . . . . . . 7 (((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐴 = (𝑝↑(𝑝 pCnt 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘))
6214, 59, 61syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘))
6362ex 412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
64 prmdvdsexpb 16750 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
65643coml 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
66653expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
6766ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
6867adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝))
69 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (𝑞𝐴𝑞 ∥ (𝑝𝑘)))
7069bibi1d 343 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑝𝑘) → ((𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) ↔ (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
7170ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ (𝑝𝑘) ↔ 𝑞 = 𝑝)))
7268, 71syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)))
7372rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝)))
7463, 73impbid 212 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
7574rexbidva 3175 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞𝐴𝑞 = 𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
762, 75bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
771, 76bitrd 279 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cdvds 16287  cprime 16705   pCnt cpc 16870  Λcvma 27150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-vma 27156
This theorem is referenced by:  vmacl  27176  efvmacl  27178  vma1  27224  vmalelog  27264  fsumvma  27272
  Copyright terms: Public domain W3C validator