Theorem prm23ge5 16727

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
2		3ioran 1105	. . 3 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
3		3ianor 1106	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
4		eluz2 12741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
5	3, 4	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
6		5nn 12214	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12499	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
8	7	pm2.24i 150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
9		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
10		prmz 16586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl11 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
13	10	zred 12580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		5re 12215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 5 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 ↔ ¬ 5 ≤ 𝑃))
17		prm23lt5 16726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
18		ioran 985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3))
19		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
20	18, 19	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
22	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
23	16, 22	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
24	23	com3l 89	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
25	8, 12, 24	3jaoi 1430	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
26	5, 25	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
28	27	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
29	2, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
30	1, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  ℝcr 11008   < clt 11149   ≤ cle 11150  2c2 12183  3c3 12184  5c5 12186  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27270  gausslemma2dlem4  27278