Theorem prm23ge5 16755

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
2		3ioran 1106	. . 3 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
3		3ianor 1107	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
4		eluz2 12769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
5	3, 4	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
6		5nn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
8	7	pm2.24i 150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
9		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
10		prmz 16614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl11 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
13	10	zred 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		5re 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 5 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 ↔ ¬ 5 ≤ 𝑃))
17		prm23lt5 16754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
18		ioran 986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3))
19		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
20	18, 19	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
22	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
23	16, 22	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
24	23	com3l 89	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
25	8, 12, 24	3jaoi 1431	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
26	5, 25	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
28	27	3impia 1118	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
29	2, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
30	1, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179  2c2 12212  3c3 12213  5c5 12215  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27340  gausslemma2dlem4  27348