MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prm23ge5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prm23ge5 16754
Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm23ge5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
2 3ioran 1103 . . 3 (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
3 3ianor 1104 . . . . . . 7 (¬ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
4 eluz2 12829 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
53, 4xchnxbir 333 . . . . . 6 𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
6 5nn 12299 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ
76nnzi 12587 . . . . . . . 8 5 ∈ ℤ
87pm2.24i 150 . . . . . . 7 (¬ 5 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
9 pm2.24 124 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
10 prmz 16616 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
119, 10syl11 33 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
1211a1d 25 . . . . . . 7 𝑃 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
1310zred 12667 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
14 5re 12300 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 5 ∈ ℝ)
1613, 15ltnled 11362 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 ↔ ¬ 5 ≤ 𝑃))
17 prm23lt5 16753 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
18 ioran 980 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3))
19 pm2.24 124 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
2018, 19biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
2221ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
2316, 22sylbird 260 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
2423com3l 89 . . . . . . 7 (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
258, 12, 243jaoi 1424 . . . . . 6 ((¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
265, 25sylbi 216 . . . . 5 𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
2726com12 32 . . . 4 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (¬ 𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))))
28273impia 1114 . . 3 ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
292, 28sylbi 216 . 2 (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5))))
301, 29pm2.61i 182 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 844  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cfv 6536  cr 11108   < clt 11249  cle 11250  2c2 12268  3c3 12269  5c5 12271  cz 12559  cuz 12823  cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-dvds 16202  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27244  gausslemma2dlem4  27252
  Copyright terms: Public domain W3C validator