Theorem prm23ge5 16786

Description: A prime is either 2 or 3 or greater than or equal to 5. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prm23ge5	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Proof of Theorem prm23ge5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
2		3ioran 1105	. . 3 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))
3		3ianor 1106	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
4		eluz2 12799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
5	3, 4	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) ↔ (¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃))
6		5nn 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ
7	6	nnzi 12557	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℤ
8	7	pm2.24i 150	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
9		pm2.24 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
10		prmz 16645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl11 33	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ ℤ → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
13	10	zred 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
14		5re 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 5 ∈ ℝ)
16	13, 15	ltnled 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 ↔ ¬ 5 ≤ 𝑃))
17		prm23lt5 16785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
18		ioran 985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) ↔ (¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3))
19		pm2.24 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
20	18, 19	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
22	21	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
23	16, 22	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
24	23	com3l 89	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 5 ≤ 𝑃 → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
25	8, 12, 24	3jaoi 1430	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 5 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑃 ∈ ℤ ∨ ¬ 5 ≤ 𝑃) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
26	5, 25	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
27	26	com12 32	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3) → (¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))))
28	27	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑃 = 2 ∧ ¬ 𝑃 = 3 ∧ ¬ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
29	2, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (¬ (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5))))
30	1, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘5)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  3c3 12242  5c5 12244  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0f  27272  gausslemma2dlem4  27280