Theorem fracf1 33870

Description: The embedding of a commutative ring 𝑅 into its field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracf1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracf1.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracf1.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fracf1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fracf1.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
fracf1.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
fracf1	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fracf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracf1.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fracf1.3	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		fracval 33867	. . 3 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
4		fracf1.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
5	4	oveq2i 7432	. . 3 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
6	3, 5	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal 𝐸)
7		fracf1.5	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
8		fracf1.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )
9		fracf1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	9	crngringd 20474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 10, 11	rrgsubm 33846	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
13		ssidd 3952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐸)
14	13, 4	sseqtrdi 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (RLReg‘𝑅))
15	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 14	rlocf1 33836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  –1-1→wf1 6536  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  [cec 8716   / cqs 8717  Basecbs 17388  mulGrpcmgp 20361  1_rcur 20408  CRingccrg 20461   RingHom crh 20700  RLRegcrlreg 20944   ~_RL cerl 33815   RLocal crloc 33816   Frac cfrac 33865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-0g 17613  df-imas 17681  df-qus 17682  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-ghm 19429  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-rhm 20703  df-rlreg 20947  df-erl 33817  df-rloc 33818  df-frac 33866

This theorem is used by:  idomsubr  33872