Theorem fracf1 33386

Description: The embedding of a commutative ring 𝑅 into its field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracf1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracf1.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracf1.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fracf1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fracf1.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
fracf1.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
fracf1	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fracf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracf1.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fracf1.3	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		fracval 33383	. . 3 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
4		fracf1.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
5	4	oveq2i 7372	. . 3 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
6	3, 5	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal 𝐸)
7		fracf1.5	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
8		fracf1.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )
9		fracf1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	9	crngringd 20221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 10, 11	rrgsubm 33363	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
13		ssidd 3946	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐸)
14	13, 4	sseqtrdi 3963	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (RLReg‘𝑅))
15	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 14	rlocf1 33352	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  [cec 8635   / cqs 8636  Basecbs 17173  mulGrpcmgp 20115  1_rcur 20156  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  RLRegcrlreg 20662   ~_RL cerl 33332   RLocal crloc 33333   Frac cfrac 33381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-0g 17398  df-imas 17466  df-qus 17467  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-rlreg 20665  df-erl 33334  df-rloc 33335  df-frac 33382

This theorem is referenced by:  idomsubr  33388