Theorem fracf1 33263

Description: The embedding of a commutative ring 𝑅 into its field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracf1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracf1.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracf1.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fracf1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fracf1.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
fracf1.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
fracf1	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fracf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracf1.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fracf1.3	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		fracval 33260	. . 3 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
4		fracf1.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
5	4	oveq2i 7400	. . 3 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
6	3, 5	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal 𝐸)
7		fracf1.5	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
8		fracf1.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )
9		fracf1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	9	crngringd 20161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 10, 11	rrgsubm 33240	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
13		ssidd 3972	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐸)
14	13, 4	sseqtrdi 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (RLReg‘𝑅))
15	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 14	rlocf1 33230	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5190   × cxp 5638  –1-1→wf1 6510  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  [cec 8671   / cqs 8672  Basecbs 17185  mulGrpcmgp 20055  1_rcur 20096  CRingccrg 20149   RingHom crh 20384  RLRegcrlreg 20606   ~_RL cerl 33210   RLocal crloc 33211   Frac cfrac 33258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17410  df-imas 17477  df-qus 17478  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-ghm 19151  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-rhm 20387  df-rlreg 20609  df-erl 33212  df-rloc 33213  df-frac 33259

This theorem is referenced by:  idomsubr  33265