Theorem fracf1 33925

Description: The embedding of a commutative ring 𝑅 into its field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracf1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracf1.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracf1.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fracf1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fracf1.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
fracf1.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
fracf1	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fracf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracf1.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fracf1.3	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		fracval 33922	. . 3 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
4		fracf1.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
5	4	oveq2i 7441	. . 3 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
6	3, 5	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal 𝐸)
7		fracf1.5	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
8		fracf1.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )
9		fracf1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	9	crngringd 20488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 10, 11	rrgsubm 33901	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
13		ssidd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐸)
14	13, 4	sseqtrdi 3953	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (RLReg‘𝑅))
15	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 14	rlocf1 33891	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  –1-1→wf1 6544  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  [cec 8729   / cqs 8730  Basecbs 17402  mulGrpcmgp 20375  1_rcur 20422  CRingccrg 20475   RingHom crh 20714  RLRegcrlreg 20958   ~_RL cerl 33870   RLocal crloc 33871   Frac cfrac 33920

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-0g 17627  df-imas 17695  df-qus 17696  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-mhm 18993  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-ghm 19443  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-rhm 20717  df-rlreg 20961  df-erl 33872  df-rloc 33873  df-frac 33921

This theorem is used by:  idomsubr  33927