Theorem fracf1 33637

Description: The embedding of a commutative ring 𝑅 into its field of fractions. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fracf1.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fracf1.2	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
fracf1.3	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fracf1.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fracf1.5	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
fracf1.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
fracf1	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

Distinct variable groups:   𝑥, 1   𝑥, ∼   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fracf1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fracf1.1	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		fracf1.3	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3		fracval 33634	. . 3 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
4		fracf1.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
5	4	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (𝑅 RLocal 𝐸) = (𝑅 RLocal (RLReg‘𝑅))
6	3, 5	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ ( Frac ‘𝑅) = (𝑅 RLocal 𝐸)
7		fracf1.5	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝐸)
8		fracf1.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [⟨𝑥, 1 ⟩] ∼ )
9		fracf1.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
11	9	crngringd 20332	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	4, 10, 11	rrgsubm 33613	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
13		ssidd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐸)
14	13, 4	sseqtrdi 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (RLReg‘𝑅))
15	1, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 14	rlocf1 33603	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→((𝐵 × 𝐸) / ∼ ) ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom ( Frac ‘𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  [cec 8688   / cqs 8689  Basecbs 17273  mulGrpcmgp 20220  1_rcur 20267  CRingccrg 20320   RingHom crh 20556  RLRegcrlreg 20799   ~_RL cerl 33582   RLocal crloc 33583   Frac cfrac 33632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-0g 17498  df-imas 17566  df-qus 17567  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-ghm 19288  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-rhm 20559  df-rlreg 20802  df-erl 33584  df-rloc 33585  df-frac 33633

This theorem is used by:  idomsubr  33639