Theorem cyc2fv2 33088

Description: Function value of a 2-cycle at the second point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 32876	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		2pos 12352	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
9		s2len 14911	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
10	8, 9	breqtrri 5152	. . . 4 ⊢ 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
12	9	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
13		2m1e1 12375	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtr2i 2758	. . . 4 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
16	1, 2, 5, 7, 11, 15	cycpmfv2 33080	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0))
17		s2fv1 14910	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
19	18	fveq2d 6891	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽))
20		s2fv0 14909	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278   − cmin 11475  2c2 12304  ♯chash 14352  ⟨“cs2 14863  SymGrpcsymg 19359  toCycctocyc 33072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-mod 13893  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-s1 14617  df-substr 14662  df-pfx 14692  df-csh 14810  df-s2 14870  df-tocyc 33073

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33099  cyc3co2  33106