Theorem cyc2fv2 33263

Description: Function value of a 2-cycle at the second point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv2	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Proof of Theorem cyc2fv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 33084	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		2pos 12319	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
9		s2len 14899	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
10	8, 9	breqtrri 5126	. . . 4 ⊢ 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩)
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩))
12	9	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
13		2m1e1 12339	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
14	12, 13	eqtr2i 2785	. . . 4 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
16	1, 2, 5, 7, 11, 15	cycpmfv2 33255	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0))
17		s2fv1 14898	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
18	4, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
19	18	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽))
20		s2fv0 14897	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	16, 19, 21	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐽) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213   − cmin 11411  2c2 12269  ♯chash 14340  ⟨“cs2 14851  SymGrpcsymg 19392  toCycctocyc 33247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-csh 14799  df-s2 14858  df-tocyc 33248

This theorem is referenced by:  cycpmco2  33274  cyc3co2  33281