Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fv1 32863
Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2cl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cyc2fv1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm2.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
53, 4s2cld 14862 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
6 cycpm2.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
73, 4, 6s2f1 32689 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
8 c0ex 11246 . . . . . 6 0 ∈ V
98snid 4669 . . . . 5 0 ∈ {0}
10 s2len 14880 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = 2
1110oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1)
12 2m1e1 12376 . . . . . . . 8 (2 βˆ’ 1) = 1
1311, 12eqtr2i 2757 . . . . . . 7 1 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)
1413oveq2i 7437 . . . . . 6 (0..^1) = (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1))
15 fzo01 13754 . . . . . 6 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtr3i 2758 . . . . 5 (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)) = {0}
179, 16eleqtrri 2828 . . . 4 0 ∈ (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1))
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)))
191, 2, 5, 7, 18cycpmfv1 32855 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0)) = (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)))
20 s2fv0 14878 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
213, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
2221fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0)) = ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ))
23 0p1e1 12372 . . . 4 (0 + 1) = 1
2423fveq2i 6905 . . 3 (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)) = (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1)
25 s2fv1 14879 . . . 4 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1) = 𝐽)
264, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1) = 𝐽)
2724, 26eqtrid 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)) = 𝐽)
2819, 22, 273eqtr3d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   βˆ’ cmin 11482  2c2 12305  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  βŸ¨β€œcs2 14832  SymGrpcsymg 19328  toCycctocyc 32848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-csh 14779  df-s2 14839  df-tocyc 32849
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  32868  cyc3co2  32882
  Copyright terms: Public domain W3C validator