Theorem cyc2fv1 32267

Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14818	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 32098	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		c0ex 11204	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4663	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10		s2len 14836	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
11	10	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12		2m1e1 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
13	11, 12	eqtr2i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
14	13	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15		fzo01 13710	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtr3i 2762	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
17	9, 16	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
19	1, 2, 5, 7, 18	cycpmfv1 32259	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20		s2fv0 14834	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	21	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23		0p1e1 12330	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 6891	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25		s2fv1 14835	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	4, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
28	19, 22, 27	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   − cmin 11440  2c2 12263  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  ⟨“cs2 14788  SymGrpcsymg 19228  toCycctocyc 32252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735  df-s2 14795  df-tocyc 32253

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  32272  cyc3co2  32286