Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fv1 33124
Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm2.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm2.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm2.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm2cl.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cyc2fv1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm2.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm2.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
53, 4s2cld 14907 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 cycpm2.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
73, 4, 6s2f1 32914 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
8 c0ex 11253 . . . . . 6 0 ∈ V
98snid 4667 . . . . 5 0 ∈ {0}
10 s2len 14925 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
1110oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12 2m1e1 12390 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
1311, 12eqtr2i 2764 . . . . . . 7 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
1413oveq2i 7442 . . . . . 6 (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15 fzo01 13783 . . . . . 6 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtr3i 2765 . . . . 5 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
179, 16eleqtrri 2838 . . . 4 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
191, 2, 5, 7, 18cycpmfv1 33116 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20 s2fv0 14923 . . . 4 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
213, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
2221fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23 0p1e1 12386 . . . 4 (0 + 1) = 1
2423fveq2i 6910 . . 3 (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25 s2fv1 14924 . . . 4 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
264, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
2724, 26eqtrid 2787 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
2819, 22, 273eqtr3d 2783 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  2c2 12319  ..^cfzo 13691  chash 14366  ⟨“cs2 14877  SymGrpcsymg 19401  toCycctocyc 33109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824  df-s2 14884  df-tocyc 33110
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  33129  cyc3co2  33143
  Copyright terms: Public domain W3C validator