Theorem cyc2fv1 33182

Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 33005	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		c0ex 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4606	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10		s2len 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
11	10	oveq1i 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12		2m1e1 12302	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
13	11, 12	eqtr2i 2760	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
14	13	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15		fzo01 13702	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
17	9, 16	eleqtrri 2835	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
19	1, 2, 5, 7, 18	cycpmfv1 33174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20		s2fv0 14849	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	21	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23		0p1e1 12298	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25		s2fv1 14850	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	4, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
28	19, 22, 27	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  2c2 12236  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  ⟨“cs2 14803  SymGrpcsymg 19344  toCycctocyc 33167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-csh 14751  df-s2 14810  df-tocyc 33168

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  33187  cyc3co2  33201