Theorem cyc2fv1 33675

Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 15015	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 33503	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		c0ex 11293	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4623	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10		s2len 15033	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
11	10	oveq1i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12		2m1e1 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
13	11, 12	eqtr2i 2785	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
14	13	oveq2i 7429	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15		fzo01 13875	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtr3i 2786	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
17	9, 16	eleqtrri 2860	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
19	1, 2, 5, 7, 18	cycpmfv1 33667	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20		s2fv0 15031	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	21	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23		0p1e1 12456	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 6886	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25		s2fv1 15032	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	4, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
28	19, 22, 27	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {csn 4584  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534  2c2 12390  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  ⟨“cs2 14985  SymGrpcsymg 19576  toCycctocyc 33660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-csh 14933  df-s2 14992  df-tocyc 33661

This theorem is used by:  cycpmco2lem1  33680  cyc3co2  33694