Theorem cyc2fv1 33076

Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycpm2.c	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
cycpm2cl.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cyc2fv1	⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycpm2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		cycpm2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
3		cycpm2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		cycpm2.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
5	3, 4	s2cld 14796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		cycpm2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
7	3, 4, 6	s2f1 32899	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)
8		c0ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	snid 4616	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0}
10		s2len 14814	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
11	10	oveq1i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12		2m1e1 12267	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
13	11, 12	eqtr2i 2753	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
14	13	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15		fzo01 13668	. . . . . 6 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtr3i 2754	. . . . 5 ⊢ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
17	9, 16	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
19	1, 2, 5, 7, 18	cycpmfv1 33068	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20		s2fv0 14812	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
22	21	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23		0p1e1 12263	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
24	23	fveq2i 6829	. . 3 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25		s2fv1 14813	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
26	4, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
27	24, 26	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
28	19, 22, 27	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  2c2 12201  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  ⟨“cs2 14766  SymGrpcsymg 19266  toCycctocyc 33061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-csh 14713  df-s2 14773  df-tocyc 33062

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  33081  cyc3co2  33095