Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fv1 30794
 Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
cycpm2.d (𝜑𝐷𝑉)
cycpm2.i (𝜑𝐼𝐷)
cycpm2.j (𝜑𝐽𝐷)
cycpm2.1 (𝜑𝐼𝐽)
cycpm2cl.s 𝑆 = (SymGrp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cyc2fv1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm2.c . . 3 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2 cycpm2.d . . 3 (𝜑𝐷𝑉)
3 cycpm2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝐷)
4 cycpm2.j . . . 4 (𝜑𝐽𝐷)
53, 4s2cld 14224 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 cycpm2.1 . . . 4 (𝜑𝐼𝐽)
73, 4, 6s2f1 30631 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1𝐷)
8 c0ex 10624 . . . . . 6 0 ∈ V
98snid 4575 . . . . 5 0 ∈ {0}
10 s2len 14242 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) = 2
1110oveq1i 7150 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1) = (2 − 1)
12 2m1e1 11751 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
1311, 12eqtr2i 2846 . . . . . . 7 1 = ((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)
1413oveq2i 7151 . . . . . 6 (0..^1) = (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
15 fzo01 13114 . . . . . 6 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtr3i 2847 . . . . 5 (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)) = {0}
179, 16eleqtrri 2913 . . . 4 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1))
1817a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘⟨“𝐼𝐽”⟩) − 1)))
191, 2, 5, 7, 18cycpmfv1 30786 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)))
20 s2fv0 14240 . . . 4 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
213, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘0) = 𝐼)
2221fveq2d 6656 . 2 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘(⟨“𝐼𝐽”⟩‘0)) = ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼))
23 0p1e1 11747 . . . 4 (0 + 1) = 1
2423fveq2i 6655 . . 3 (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1)
25 s2fv1 14241 . . . 4 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
264, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘1) = 𝐽)
2724, 26syl5eq 2869 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩‘(0 + 1)) = 𝐽)
2819, 22, 273eqtr3d 2865 1 (𝜑 → ((𝐶‘⟨“𝐼𝐽”⟩)‘𝐼) = 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  {csn 4539  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  2c2 11680  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  ⟨“cs2 14194  SymGrpcsymg 18486  toCycctocyc 30779 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-s2 14201  df-tocyc 30780 This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  30799  cyc3co2  30813
 Copyright terms: Public domain W3C validator