Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cyc2fv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cyc2fv1 32783
Description: Function value of a 2-cycle at the first point. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2cl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cyc2fv1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ) = 𝐽)

Proof of Theorem cyc2fv1
StepHypRef Expression
1 cycpm2.c . . 3 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm2.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm2.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
53, 4s2cld 14825 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
6 cycpm2.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
73, 4, 6s2f1 32613 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
8 c0ex 11209 . . . . . 6 0 ∈ V
98snid 4659 . . . . 5 0 ∈ {0}
10 s2len 14843 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) = 2
1110oveq1i 7414 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1)
12 2m1e1 12339 . . . . . . . 8 (2 βˆ’ 1) = 1
1311, 12eqtr2i 2755 . . . . . . 7 1 = ((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)
1413oveq2i 7415 . . . . . 6 (0..^1) = (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1))
15 fzo01 13717 . . . . . 6 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtr3i 2756 . . . . 5 (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)) = {0}
179, 16eleqtrri 2826 . . . 4 0 ∈ (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1))
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^((β™―β€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) βˆ’ 1)))
191, 2, 5, 7, 18cycpmfv1 32775 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0)) = (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)))
20 s2fv0 14841 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
213, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0) = 𝐼)
2221fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜(βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜0)) = ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ))
23 0p1e1 12335 . . . 4 (0 + 1) = 1
2423fveq2i 6887 . . 3 (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)) = (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1)
25 s2fv1 14842 . . . 4 (𝐽 ∈ 𝐷 β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1) = 𝐽)
264, 25syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜1) = 𝐽)
2724, 26eqtrid 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€˜(0 + 1)) = 𝐽)
2819, 22, 273eqtr3d 2774 1 (πœ‘ β†’ ((πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©)β€˜πΌ) = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  ..^cfzo 13630  β™―chash 14292  βŸ¨β€œcs2 14795  SymGrpcsymg 19283  toCycctocyc 32768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-substr 14594  df-pfx 14624  df-csh 14742  df-s2 14802  df-tocyc 32769
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem1  32788  cyc3co2  32802
  Copyright terms: Public domain W3C validator