Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cycpm2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycpm2cl 32870
Description: Closure for the 2-cycles. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycpm2.c 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
cycpm2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
cycpm2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
cycpm2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
cycpm2.1 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
cycpm2cl.s 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cycpm2cl (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))

Proof of Theorem cycpm2cl
StepHypRef Expression
1 cycpm2.c . 2 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 cycpm2.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
3 cycpm2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐷)
4 cycpm2.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐷)
53, 4s2cld 14864 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ© ∈ Word 𝐷)
6 cycpm2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  𝐽)
73, 4, 6s2f1 32697 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©:dom βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©β€“1-1→𝐷)
8 cycpm2cl.s . 2 𝑆 = (SymGrpβ€˜π·)
91, 2, 5, 7, 8cycpmcl 32866 1 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜βŸ¨β€œπΌπ½β€βŸ©) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β€˜cfv 6553  βŸ¨β€œcs2 14834  Basecbs 17189  SymGrpcsymg 19335  toCycctocyc 32856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-hash 14332  df-word 14507  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-csh 14781  df-s2 14841  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-efmnd 18835  df-symg 19336  df-tocyc 32857
This theorem is referenced by:  cycpmco2  32883  cyc3co2  32890  cyc3evpm  32900  cyc3genpmlem  32901
  Copyright terms: Public domain W3C validator