| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | s3f1.i |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷) |
| 2 | | s3f1.j |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷) |
| 3 | | s3f1.k |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷) |
| 4 | 1, 2, 3 | s3cld 14911 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ∈ Word 𝐷) |
| 5 | | wrdf 14557 |
. . . 4
⊢
(〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ∈ Word 𝐷 → 〈“𝐼𝐽𝐾”〉:(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉))⟶𝐷) |
| 6 | 4, 5 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 〈“𝐼𝐽𝐾”〉:(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉))⟶𝐷) |
| 7 | 6 | ffdmd 6766 |
. 2
⊢ (𝜑 → 〈“𝐼𝐽𝐾”〉:dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉⟶𝐷) |
| 8 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑖 = 0) |
| 9 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0) |
| 10 | 8, 9 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑖 = 𝑗) |
| 11 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 12 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 0) |
| 13 | 12 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0)) |
| 14 | | s3fv0 14930 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0) = 𝐼) |
| 15 | 1, 14 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0) = 𝐼) |
| 16 | 15 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0) = 𝐼) |
| 17 | 13, 16 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐼) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐼) |
| 19 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑗 = 1) |
| 20 | 19 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1)) |
| 21 | | s3fv1 14931 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1) = 𝐽) |
| 22 | 2, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1) = 𝐽) |
| 23 | 22 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1) = 𝐽) |
| 24 | 20, 23 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐽) |
| 25 | 24 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐽) |
| 26 | 11, 18, 25 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → 𝐼 = 𝐽) |
| 27 | | s3f1.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽) |
| 28 | 27 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → 𝐼 ≠ 𝐽) |
| 29 | 26, 28 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑖 = 𝑗) |
| 30 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 31 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐼) |
| 32 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑗 = 2) |
| 33 | 32 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2)) |
| 34 | | s3fv2 14932 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2) = 𝐾) |
| 35 | 3, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2) = 𝐾) |
| 36 | 35 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2) = 𝐾) |
| 37 | 33, 36 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐾) |
| 38 | 37 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐾) |
| 39 | 30, 31, 38 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → 𝐾 = 𝐼) |
| 40 | | s3f1.3 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 𝐼) |
| 41 | 40 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → 𝐾 ≠ 𝐼) |
| 42 | 39, 41 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑖 = 𝑗) |
| 43 | | wrddm 14559 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ∈ Word 𝐷 → dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 =
(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉))) |
| 44 | 4, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 =
(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉))) |
| 45 | | s3len 14933 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉) = 3 |
| 46 | 45 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉)) = (0..^3) |
| 47 | | fzo0to3tp 13791 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0..^3) =
{0, 1, 2} |
| 48 | 46, 47 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0..^(♯‘〈“𝐼𝐽𝐾”〉)) = {0, 1, 2} |
| 49 | 44, 48 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 = {0, 1, 2}) |
| 50 | 49 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ↔ 𝑗 ∈ {0, 1, 2})) |
| 51 | 50 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → 𝑗 ∈ {0, 1, 2}) |
| 52 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑗 ∈ V |
| 53 | 52 | eltp 4689 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑗 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 54 | 51, 53 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 55 | 54 | adantlr 715 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 56 | 55 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 57 | 10, 29, 42, 56 | mpjao3dan 1434 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 0) → 𝑖 = 𝑗) |
| 58 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 59 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1) |
| 60 | 59 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1)) |
| 61 | 22 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘1) = 𝐽) |
| 62 | 60, 61 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐽) |
| 63 | 62 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐽) |
| 64 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑗 = 0) |
| 65 | 64 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0)) |
| 66 | 15 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘0) = 𝐼) |
| 67 | 65, 66 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐼) |
| 68 | 67 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐼) |
| 69 | 58, 63, 68 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → 𝐼 = 𝐽) |
| 70 | 27 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → 𝐼 ≠ 𝐽) |
| 71 | 69, 70 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑖 = 𝑗) |
| 72 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑖 = 1) |
| 73 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑗 = 1) |
| 74 | 72, 73 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑖 = 𝑗) |
| 75 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 76 | 62 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐽) |
| 77 | 37 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐾) |
| 78 | 75, 76, 77 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → 𝐽 = 𝐾) |
| 79 | | s3f1.2 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾) |
| 80 | 79 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → 𝐽 ≠ 𝐾) |
| 81 | 78, 80 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑖 = 𝑗) |
| 82 | 55 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 83 | 71, 74, 81, 82 | mpjao3dan 1434 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 𝑗) |
| 84 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 85 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑖 = 2) |
| 86 | 85 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2)) |
| 87 | 35 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘2) = 𝐾) |
| 88 | 86, 87 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐾) |
| 89 | 88 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐾) |
| 90 | 67 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐼) |
| 91 | 84, 89, 90 | 3eqtr3d 2785 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → 𝐾 = 𝐼) |
| 92 | 40 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → 𝐾 ≠ 𝐼) |
| 93 | 91, 92 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 0) → 𝑖 = 𝑗) |
| 94 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) |
| 95 | 88 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = 𝐾) |
| 96 | 24 | adantlr 715 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) = 𝐽) |
| 97 | 94, 95, 96 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → 𝐽 = 𝐾) |
| 98 | 79 | ad5antr 734 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → 𝐽 ≠ 𝐾) |
| 99 | 97, 98 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 1) → 𝑖 = 𝑗) |
| 100 | | simplr 769 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑖 = 2) |
| 101 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑗 = 2) |
| 102 | 100, 101 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) ∧ 𝑗 = 2) → 𝑖 = 𝑗) |
| 103 | 55 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → (𝑗 = 0 ∨ 𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 2)) |
| 104 | 93, 99, 102, 103 | mpjao3dan 1434 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) ∧ 𝑖 = 2) → 𝑖 = 𝑗) |
| 105 | 49 | eleq2d 2827 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ↔ 𝑖 ∈ {0, 1, 2})) |
| 106 | 105 | biimpa 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → 𝑖 ∈ {0, 1, 2}) |
| 107 | | vex 3484 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑖 ∈ V |
| 108 | 107 | eltp 4689 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2)) |
| 109 | 106, 108 | sylib 218 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2)) |
| 110 | 109 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 = 1 ∨ 𝑖 = 2)) |
| 111 | 57, 83, 104, 110 | mpjao3dan 1434 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗)) → 𝑖 = 𝑗) |
| 112 | 111 | ex 412 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉) → ((〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 113 | 112 | anasss 466 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉 ∧ 𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉)) → ((〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 114 | 113 | ralrimivva 3202 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉∀𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉((〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗)) |
| 115 | | dff13 7275 |
. 2
⊢
(〈“𝐼𝐽𝐾”〉:dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉–1-1→𝐷 ↔ (〈“𝐼𝐽𝐾”〉:dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉⟶𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉∀𝑗 ∈ dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉((〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑖) = (〈“𝐼𝐽𝐾”〉‘𝑗) → 𝑖 = 𝑗))) |
| 116 | 7, 114, 115 | sylanbrc 583 |
1
⊢ (𝜑 → 〈“𝐼𝐽𝐾”〉:dom 〈“𝐼𝐽𝐾”〉–1-1→𝐷) |