Theorem s3rnOLD 32904

Description: Obsolete version of s2rn 15008 as of 1-Aug-2025. Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
s3rnOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s3rnOLD.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rnOLD.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rnOLD	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6098	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2		s3rnOLD.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s3rnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4		s3rnOLD.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
5	2, 3, 4	s3cld 14917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		wrdfn 14572	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7		s3len 14939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13798	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	fneq2i 6676	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
12	11	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
13	5, 6, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
14	13	fndmd 6683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
15	14	imaeq2d 6088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16		c0ex 11280	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4793	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19		1ex 11282	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	19	tpid2 4795	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22		2ex 12366	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
23	22	tpid3 4798	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
25	13, 18, 21, 24	fnimatpd 7004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26		s3fv0 14936	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28		s3fv1 14937	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	3, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30		s3fv2 14938	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
31	4, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
32	27, 29, 31	tpeq123d 4773	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
33	15, 25, 32	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
34	1, 33	eqtr3id 2788	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  {ctp 4652  dom cdm 5699  ran crn 5700   “ cima 5702   Fn wfn 6567  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181  2c2 12344  3c3 12345  ..^cfzo 13707  ♯chash 14375  Word cword 14558  ⟨“cs3 14887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894

This theorem is referenced by: (None)