Theorem s3rnOLD 33032

Description: Obsolete version of s2rn 14923 as of 1-Aug-2025. Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
s3rnOLD.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s3rnOLD.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s3rnOLD.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
s3rnOLD	⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rnOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6029	. 2 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2		s3rnOLD.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
3		s3rnOLD.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
4		s3rnOLD.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
5	2, 3, 4	s3cld 14832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6		wrdfn 14488	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7		s3len 14854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
8	7	oveq2i 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9		fzo0to3tp 13705	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
10	8, 9	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
11	10	fneq2i 6590	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
12	11	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
13	5, 6, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
14	13	fndmd 6597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
15	14	imaeq2d 6019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16		c0ex 11136	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
17	16	tpid1 4707	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19		1ex 11138	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
20	19	tpid2 4709	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22		2ex 12256	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
23	22	tpid3 4712	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
25	13, 18, 21, 24	fnimatpd 6918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26		s3fv0 14851	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
27	2, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28		s3fv1 14852	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
29	3, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30		s3fv2 14853	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
31	4, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
32	27, 29, 31	tpeq123d 4687	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
33	15, 25, 32	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
34	1, 33	eqtr3id 2789	1 ⊢ (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {ctp 4566  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037  2c2 12234  3c3 12235  ..^cfzo 13606  ♯chash 14290  Word cword 14473  ⟨“cs3 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809

This theorem is referenced by: (None)