Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  s3rnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3rnOLD 32914
Description: Obsolete version of s2rn 15014 as of 1-Aug-2025. Range of a length 3 string. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
s3rnOLD.i (𝜑𝐼𝐷)
s3rnOLD.j (𝜑𝐽𝐷)
s3rnOLD.k (𝜑𝐾𝐷)
Assertion
Ref Expression
s3rnOLD (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})

Proof of Theorem s3rnOLD
StepHypRef Expression
1 imadmrn 6101 . 2 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩
2 s3rnOLD.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝐷)
3 s3rnOLD.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽𝐷)
4 s3rnOLD.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝐷)
52, 3, 4s3cld 14923 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷)
6 wrdfn 14578 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ ∈ Word 𝐷 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)))
7 s3len 14945 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = 3
87oveq2i 7461 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = (0..^3)
9 fzo0to3tp 13804 . . . . . . . . 9 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtri 2768 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) = {0, 1, 2}
1110fneq2i 6679 . . . . . . 7 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) ↔ ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1211biimpi 216 . . . . . 6 (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn (0..^(♯‘⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩)) → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
135, 6, 123syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ Fn {0, 1, 2})
1413fndmd 6686 . . . 4 (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {0, 1, 2})
1514imaeq2d 6091 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}))
16 c0ex 11286 . . . . . 6 0 ∈ V
1716tpid1 4793 . . . . 5 0 ∈ {0, 1, 2}
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ {0, 1, 2})
19 1ex 11288 . . . . . 6 1 ∈ V
2019tpid2 4795 . . . . 5 1 ∈ {0, 1, 2}
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ {0, 1, 2})
22 2ex 12372 . . . . . 6 2 ∈ V
2322tpid3 4798 . . . . 5 2 ∈ {0, 1, 2}
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ {0, 1, 2})
2513, 18, 21, 24fnimatpd 7008 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ {0, 1, 2}) = {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)})
26 s3fv0 14942 . . . . 5 (𝐼𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
272, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐼)
28 s3fv1 14943 . . . . 5 (𝐽𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
293, 28syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐽)
30 s3fv2 14944 . . . . 5 (𝐾𝐷 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
314, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2) = 𝐾)
3227, 29, 31tpeq123d 4773 . . 3 (𝜑 → {(⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘0), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘1), (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩‘2)} = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
3315, 25, 323eqtrd 2784 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ “ dom ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩) = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
341, 33eqtr3id 2794 1 (𝜑 → ran ⟨“𝐼𝐽𝐾”⟩ = {𝐼, 𝐽, 𝐾})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2108  {ctp 4652  dom cdm 5700  ran crn 5701  cima 5703   Fn wfn 6570  cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  2c2 12350  3c3 12351  ..^cfzo 13713  chash 14381  Word cword 14564  ⟨“cs3 14893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator