Theorem sge0fodjrn 46340

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrn.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0fodjrn.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sge0fodjrn.bd	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
sge0fodjrn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
sge0fodjrn.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
sge0fodjrn.fng	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrn.b0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrn.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0fodjrn.n	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
3		sge0fodjrn.bd	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
4		sge0fodjrn.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		sge0fodjrn.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
6		sge0fodjrn.dj	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
7		sge0fodjrn.fng	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
8		sge0fodjrn.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		sge0fodjrn.b0	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
10		eqid 2740	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ {∅}) = (◡𝐹 “ {∅})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sge0fodjrnlem 46339	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  {csn 4648  Disj wdisj 5133   ↦ cmpt 5249  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  –onto→wfo 6573  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  +∞cpnf 11323  [,]cicc 13412  Σ^{^}csumge0 46285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-inf2 9712  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-isom 6584  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-oi 9581  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-rp 13060  df-xadd 13178  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-seq 14055  df-exp 14115  df-hash 14382  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15536  df-sum 15737  df-sumge0 46286

This theorem is referenced by:  ismeannd  46390