Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fodjrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fodjrn 44744
Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fodjrn.k 𝑘𝜑
sge0fodjrn.n 𝑛𝜑
sge0fodjrn.bd (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrn.c (𝜑𝐶𝑉)
sge0fodjrn.f (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
sge0fodjrn.dj (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
sge0fodjrn.fng ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrn.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrn.b0 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
sge0fodjrn (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrn
StepHypRef Expression
1 sge0fodjrn.k . 2 𝑘𝜑
2 sge0fodjrn.n . 2 𝑛𝜑
3 sge0fodjrn.bd . 2 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
4 sge0fodjrn.c . 2 (𝜑𝐶𝑉)
5 sge0fodjrn.f . 2 (𝜑𝐹:𝐶onto𝐴)
6 sge0fodjrn.dj . 2 (𝜑Disj 𝑛𝐶 (𝐹𝑛))
7 sge0fodjrn.fng . 2 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
8 sge0fodjrn.b . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9 sge0fodjrn.b0 . 2 ((𝜑𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
10 eqid 2733 . 2 (𝐹 “ {∅}) = (𝐹 “ {∅})
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sge0fodjrnlem 44743 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = (Σ^‘(𝑛𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  c0 4283  {csn 4587  Disj wdisj 5071  cmpt 5189  ccnv 5633  cima 5637  ontowfo 6495  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  [,]cicc 13273  Σ^csumge0 44689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-sumge0 44690
This theorem is referenced by:  ismeannd  44794
  Copyright terms: Public domain W3C validator