Theorem sge0fodjrn 46038

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrn.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
sge0fodjrn.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sge0fodjrn.bd	⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
sge0fodjrn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
sge0fodjrn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
sge0fodjrn.dj	⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
sge0fodjrn.fng	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
sge0fodjrn.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0fodjrn.b0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝑉(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem sge0fodjrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrn.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		sge0fodjrn.n	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
3		sge0fodjrn.bd	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐺 → 𝐵 = 𝐷)
4		sge0fodjrn.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		sge0fodjrn.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–onto→𝐴)
6		sge0fodjrn.dj	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝐶 (𝐹‘𝑛))
7		sge0fodjrn.fng	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑛) = 𝐺)
8		sge0fodjrn.b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		sge0fodjrn.b0	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝐵 = 0)
10		eqid 2726	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ {∅}) = (◡𝐹 “ {∅})
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sge0fodjrnlem 46037	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ∅c0 4325  {csn 4633  Disj wdisj 5118   ↦ cmpt 5236  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  –onto→wfo 6552  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  [,]cicc 13381  Σ^{^}csumge0 45983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-sumge0 45984

This theorem is referenced by:  ismeannd  46088