cos3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem cos3t 47862

Description: Triple-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
cos3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

**Proof of Theorem cos3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12387	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11315	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		cosadd 16313	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		cos2t 16326	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
14		mullid 11288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
16	13, 15	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)))
17		coscl 16275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
19	3, 18	mulcld 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
20	19, 4, 17	subdird 11754	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))))
21	3, 18, 17	mulassd 11313	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))))
22	1	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1))
23		2nn0 12604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
25	17, 24	expp1d 14270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)))
26	22, 25	eqtr2id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴)↑3))
27	26	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
28	21, 27	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
29	28	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
30	16, 20, 29	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
31		sin2t 16325	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
32	14	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
33	31, 32	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)))
34		sincl 16274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
35	34, 17	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	3, 35, 34	mulassd 11313	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))))
37	34, 17, 34	mulassd 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
38	34, 17, 34	mul12d 11500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
39	34	sqvald 14266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
40	39	eqcomd 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴)↑2))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
42	37, 38, 41	3eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
43	34	sqcld 14267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		sincossq 16324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
45	43, 18, 44	mvlraddd 11705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = (1 − ((cos‘𝐴)↑2)))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
47	17, 4, 18	subdid 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))))
48	17	mulridd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 1) = (cos‘𝐴))
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)))
51	18, 17	mulcomd 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)))
52	50, 25, 51	3eqtrrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑3))
53	48, 52	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
54	47, 53	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
55	42, 46, 54	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
56	55	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
57	36, 56	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
58		3nn0 12605	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
60	17, 59	expcld 14269	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
61	3, 17, 60	subdid 11753	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
62	33, 57, 61	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
63	30, 62	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))))
64	3, 60	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
65	4, 17	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
66	3, 17	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
67	64, 65, 66, 64	subadd4d 11698	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))))
68	3, 3, 60	adddird 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12458	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 2) = 4)
71	70	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
72	68, 71	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
73	4, 3, 17	adddird 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))))
74		1p2e3 12466	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 2) = 3)
76	75	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = (3 · (cos‘𝐴)))
77	73, 76	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))) = (3 · (cos‘𝐴)))
78	72, 77	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
79	63, 67, 78	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
80	8, 12, 79	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6531 (class class class)co 7412 ℂcc 11179 1c1 11182 + caddc 11184 · cmul 11186 − cmin 11522 2c2 12378 3c3 12379 4c4 12380 ℕ₀cn0 12587 ↑cexp 14184 sincsin 16209 cosccos 16210

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7740 ax-inf2 9626 ax-cnex 11237 ax-resscn 11238 ax-1cn 11239 ax-icn 11240 ax-addcl 11241 ax-addrcl 11242 ax-mulcl 11243 ax-mulrcl 11244 ax-mulcom 11245 ax-addass 11246 ax-mulass 11247 ax-distr 11248 ax-i2m1 11249 ax-1ne0 11250 ax-1rid 11251 ax-rnegex 11252 ax-rrecex 11253 ax-cnre 11254 ax-pre-lttri 11255 ax-pre-lttrn 11256 ax-pre-ltadd 11257 ax-pre-mulgt0 11258 ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6297 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6487 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-isom 6540 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7867 df-1st 7990 df-2nd 7991 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8460 df-er 8701 df-pm 8834 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-sup 9418 df-inf 9419 df-oi 9488 df-card 10001 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11524 df-neg 11525 df-div 11955 df-nn 12317 df-2 12386 df-3 12387 df-4 12388 df-n0 12588 df-z 12675 df-uz 12947 df-rp 13102 df-ico 13463 df-fz 13621 df-fzo 13769 df-fl 13912 df-seq 14125 df-exp 14185 df-fac 14398 df-bc 14427 df-hash 14455 df-shft 15200 df-cj 15246 df-re 15247 df-im 15248 df-sqrt 15382 df-abs 15383 df-limsup 15618 df-clim 15635 df-rlim 15636 df-sum 15834 df-ef 16213 df-sin 16215 df-cos 16216

This theorem is used by: sin5t 47868

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