cos3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem cos3t 47464

Description: Triple-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
cos3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

**Proof of Theorem cos3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12295	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12310	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11190	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6875	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		cosadd 16211	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		cos2t 16224	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
14		mullid 11195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
16	13, 15	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)))
17		coscl 16173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14171	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
19	3, 18	mulcld 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
20	19, 4, 17	subdird 11659	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))))
21	3, 18, 17	mulassd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))))
22	1	oveq2i 7411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1))
23		2nn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
25	17, 24	expp1d 14174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)))
26	22, 25	eqtr2id 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴)↑3))
27	26	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
28	21, 27	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
29	28	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
30	16, 20, 29	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
31		sin2t 16223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
32	14	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
33	31, 32	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)))
34		sincl 16172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
35	34, 17	mulcld 11217	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	3, 35, 34	mulassd 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))))
37	34, 17, 34	mulassd 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
38	34, 17, 34	mul12d 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
39	34	sqvald 14170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
40	39	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴)↑2))
41	40	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
42	37, 38, 41	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
43	34	sqcld 14171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		sincossq 16222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
45	43, 18, 44	mvlraddd 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = (1 − ((cos‘𝐴)↑2)))
46	45	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
47	17, 4, 18	subdid 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))))
48	17	mulridd 11214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 1) = (cos‘𝐴))
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
50	49	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)))
51	18, 17	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)))
52	50, 25, 51	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑3))
53	48, 52	oveq12d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
54	47, 53	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
55	42, 46, 54	3eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
56	55	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
57	36, 56	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
58		3nn0 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
60	17, 59	expcld 14173	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
61	3, 17, 60	subdid 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
62	33, 57, 61	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
63	30, 62	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))))
64	3, 60	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
65	4, 17	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
66	3, 17	mulcld 11217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
67	64, 65, 66, 64	subadd4d 11605	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))))
68	3, 3, 60	adddird 11222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12366	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 2) = 4)
71	70	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
72	68, 71	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
73	4, 3, 17	adddird 11222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))))
74		1p2e3 12374	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 2) = 3)
76	75	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = (3 · (cos‘𝐴)))
77	73, 76	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))) = (3 · (cos‘𝐴)))
78	72, 77	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
79	63, 67, 78	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
80	8, 12, 79	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1563 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6525 (class class class)co 7400 ℂcc 11086 1c1 11089 + caddc 11091 · cmul 11093 − cmin 11429 2c2 12286 3c3 12287 4c4 12288 ℕ₀cn0 12495 ↑cexp 14088 sincsin 16107 cosccos 16108

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1818 ax-4 1832 ax-5 1933 ax-6 1990 ax-7 2031 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2737 ax-rep 5232 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5327 ax-pr 5395 ax-un 7722 ax-inf2 9598 ax-cnex 11144 ax-resscn 11145 ax-1cn 11146 ax-icn 11147 ax-addcl 11148 ax-addrcl 11149 ax-mulcl 11150 ax-mulrcl 11151 ax-mulcom 11152 ax-addass 11153 ax-mulass 11154 ax-distr 11155 ax-i2m1 11156 ax-1ne0 11157 ax-1rid 11158 ax-rnegex 11159 ax-rrecex 11160 ax-cnre 11161 ax-pre-lttri 11162 ax-pre-lttrn 11163 ax-pre-ltadd 11164 ax-pre-mulgt0 11165 ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1566 df-fal 1576 df-ex 1803 df-nf 1807 df-sb 2094 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3418 df-v 3459 df-sbc 3748 df-csb 3856 df-dif 3910 df-un 3912 df-in 3914 df-ss 3924 df-pss 3927 df-nul 4289 df-if 4484 df-pw 4560 df-sn 4586 df-pr 4588 df-op 4592 df-uni 4869 df-int 4909 df-iun 4954 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5547 df-eprel 5552 df-po 5560 df-so 5561 df-fr 5605 df-se 5606 df-we 5607 df-xp 5658 df-rel 5659 df-cnv 5660 df-co 5661 df-dm 5662 df-rn 5663 df-res 5664 df-ima 5665 df-pred 6292 df-ord 6353 df-on 6354 df-lim 6355 df-suc 6356 df-iota 6481 df-fun 6527 df-fn 6528 df-f 6529 df-f1 6530 df-fo 6531 df-f1o 6532 df-fv 6533 df-isom 6534 df-riota 7357 df-ov 7403 df-oprab 7404 df-mpo 7405 df-om 7851 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8346 df-rdg 8385 df-1o 8441 df-er 8682 df-pm 8815 df-en 8932 df-dom 8933 df-sdom 8934 df-fin 8935 df-sup 9390 df-inf 9391 df-oi 9460 df-card 9913 df-pnf 11233 df-mnf 11234 df-xr 11235 df-ltxr 11236 df-le 11237 df-sub 11431 df-neg 11432 df-div 11860 df-nn 12225 df-2 12294 df-3 12295 df-4 12296 df-n0 12496 df-z 12583 df-uz 12854 df-rp 13008 df-ico 13369 df-fz 13527 df-fzo 13674 df-fl 13816 df-seq 14029 df-exp 14089 df-fac 14301 df-bc 14330 df-hash 14358 df-shft 15094 df-cj 15140 df-re 15141 df-im 15142 df-sqrt 15276 df-abs 15277 df-limsup 15512 df-clim 15529 df-rlim 15530 df-sum 15728 df-ef 16111 df-sin 16113 df-cos 16114

This theorem is referenced by: sin5t 47470

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