cos3t - Mathbox for Ender Ting

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Theorem cos3t 47586

Description: Triple-angle formula for cosine, in pure cosine form. (Contributed by Ender Ting, 16-Mar-2026.)

**Assertion**
Ref	Expression
cos3t	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

**Proof of Theorem cos3t**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12305	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (3 · 𝐴) = ((2 + 1) · 𝐴)
3		2cnd 12320	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
4		1cnd 11203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	adddird 11235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 1) · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
7	2, 6	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (3 · 𝐴) = ((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
8	7	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))))
9	3, 5	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 5	mulcld 11230	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		cosadd 16222	. . 3 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 · 𝐴) ∈ ℂ) → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘((2 · 𝐴) + (1 · 𝐴))) = (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))))
13		cos2t 16235	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
14		mullid 11208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(1 · 𝐴)) = (cos‘𝐴))
16	13, 15	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)))
17		coscl 16184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
18	17	sqcld 14182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
19	3, 18	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
20	19, 4, 17	subdird 11672	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1) · (cos‘𝐴)) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))))
21	3, 18, 17	mulassd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))))
22	1	oveq2i 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1))
23		2nn0 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℕ₀)
25	17, 24	expp1d 14185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)) = (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)))
26	22, 25	eqtr2id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴)↑3))
27	26	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
28	21, 27	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))
29	28	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) · (cos‘𝐴)) − (1 · (cos‘𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
30	16, 20, 29	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))))
31		sin2t 16234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐴)) = (2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))))
32	14	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
33	31, 32	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)))
34		sincl 16183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
35	34, 17	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
36	3, 35, 34	mulassd 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))))
37	34, 17, 34	mulassd 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
38	34, 17, 34	mul12d 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · ((cos‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))))
39	34	sqvald 14181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
40	39	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴)↑2))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
42	37, 38, 41	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)))
43	34	sqcld 14182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
44		sincossq 16233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
45	43, 18, 44	mvlraddd 11625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = (1 − ((cos‘𝐴)↑2)))
46	45	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((sin‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))))
47	17, 4, 18	subdid 11671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))))
48	17	mulridd 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · 1) = (cos‘𝐴))
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 = (2 + 1))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) = ((cos‘𝐴)↑(2 + 1)))
51	18, 17	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) · (cos‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)))
52	50, 25, 51	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2)) = ((cos‘𝐴)↑3))
53	48, 52	oveq12d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · 1) − ((cos‘𝐴) · ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
54	47, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (1 − ((cos‘𝐴)↑2))) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
55	42, 46, 54	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3)))
56	55	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
57	36, 56	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴) · (cos‘𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))))
58		3nn0 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
59	58	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 3 ∈ ℕ₀)
60	17, 59	expcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑3) ∈ ℂ)
61	3, 17, 60	subdid 11671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴) − ((cos‘𝐴)↑3))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
62	33, 57, 61	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴))) = ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
63	30, 62	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))))
64	3, 60	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑3)) ∈ ℂ)
65	4, 17	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
66	3, 17	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
67	64, 65, 66, 64	subadd4d 11618	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (1 · (cos‘𝐴))) − ((2 · (cos‘𝐴)) − (2 · ((cos‘𝐴)↑3)))) = (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))))
68	3, 3, 60	adddird 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))))
69		2p2e4 12376	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 2) = 4
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 + 2) = 4)
71	70	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 + 2) · ((cos‘𝐴)↑3)) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
72	68, 71	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) = (4 · ((cos‘𝐴)↑3)))
73	4, 3, 17	adddird 11235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))))
74		1p2e3 12384	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 2) = 3
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 2) = 3)
76	75	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 2) · (cos‘𝐴)) = (3 · (cos‘𝐴)))
77	73, 76	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴))) = (3 · (cos‘𝐴)))
78	72, 77	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((2 · ((cos‘𝐴)↑3)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑3))) − ((1 · (cos‘𝐴)) + (2 · (cos‘𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
79	63, 67, 78	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘(2 · 𝐴)) · (cos‘(1 · 𝐴))) − ((sin‘(2 · 𝐴)) · (sin‘(1 · 𝐴)))) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))
80	8, 12, 79	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(3 · 𝐴)) = ((4 · ((cos‘𝐴)↑3)) − (3 · (cos‘𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 ℂcc 11099 1c1 11102 + caddc 11104 · cmul 11106 − cmin 11442 2c2 12296 3c3 12297 4c4 12298 ℕ₀cn0 12505 ↑cexp 14099 sincsin 16118 cosccos 16119

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-inf2 9611 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178 ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-er 8695 df-pm 8828 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-sup 9403 df-inf 9404 df-oi 9473 df-card 9926 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11873 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-4 12306 df-n0 12506 df-z 12593 df-uz 12864 df-rp 13018 df-ico 13379 df-fz 13537 df-fzo 13685 df-fl 13827 df-seq 14040 df-exp 14100 df-fac 14312 df-bc 14341 df-hash 14369 df-shft 15106 df-cj 15152 df-re 15153 df-im 15154 df-sqrt 15288 df-abs 15289 df-limsup 15524 df-clim 15541 df-rlim 15542 df-sum 15740 df-ef 16122 df-sin 16124 df-cos 16125

This theorem is referenced by: sin5t 47592

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