Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfinfdmmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfinfdmmbl 44984
Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
smfinfdmmbl.1 𝑛𝜑
smfinfdmmbl.2 𝑥𝜑
smfinfdmmbl.3 𝑥𝐹
smfinfdmmbl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbl.5 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfinfdmmbl.6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbl.7 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbl.8 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbl.9 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbl.10 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
smfinfdmmbl (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑥,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbl
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfinfdmmbl.1 . 2 𝑛𝜑
2 smfinfdmmbl.2 . 2 𝑥𝜑
3 nfv 1917 . 2 𝑚𝜑
4 smfinfdmmbl.3 . 2 𝑥𝐹
5 smfinfdmmbl.4 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 smfinfdmmbl.5 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
7 smfinfdmmbl.6 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfinfdmmbl.7 . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9 smfinfdmmbl.8 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐹𝑛) ∈ 𝑆)
10 smfinfdmmbl.9 . 2 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹𝑛)‘𝑥)}
11 smfinfdmmbl.10 . 2 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ inf(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
12 eqid 2737 . 2 (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)})) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹𝑛)‘𝑥)}))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12smfinfdmmbllem 44983 1 (𝜑 → dom 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2885  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405   ciin 4953   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  ran crn 5632  wf 6489  cfv 6493  infcinf 9335  cr 11008   < clt 11147  cle 11148  -cneg 11344  cn 12111  cz 12457  cuz 12721  SAlgcsalg 44443  SMblFncsmblfn 44830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-oadd 8408  df-omul 8409  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-acn 9836  df-ac 10010  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-fl 13651  df-rest 17263  df-salg 44444  df-smblfn 44831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator