Theorem smfinfdmmbl 47662

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinfdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfinfdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfinfdmmbl.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinfdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbl.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinfdmmbl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbl.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbl.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbl.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbl.10	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinfdmmbl	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑥,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinfdmmbl.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfinfdmmbl.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1947	. 2 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfinfdmmbl.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfinfdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		smfinfdmmbl.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		smfinfdmmbl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfinfdmmbl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9		smfinfdmmbl.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
10		smfinfdmmbl.9	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
11		smfinfdmmbl.10	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
12		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smfinfdmmbllem 47661	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414  ∩ ciin 4955   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  infcinf 9414  ℝcr 11124   < clt 11268   ≤ cle 11269  -cneg 11467  ℕcn 12258  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  SAlgcsalg 47121  SMblFncsmblfn 47508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-ac2 10468  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-acn 9950  df-ac 10122  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13043  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-fl 13853  df-rest 17509  df-salg 47122  df-smblfn 47509

This theorem is used by: (None)