Theorem smfinfdmmbl 46820

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinfdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfinfdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfinfdmmbl.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinfdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbl.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinfdmmbl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbl.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbl.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbl.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbl.10	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinfdmmbl	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑥,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinfdmmbl.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfinfdmmbl.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfinfdmmbl.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfinfdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		smfinfdmmbl.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		smfinfdmmbl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfinfdmmbl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9		smfinfdmmbl.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
10		smfinfdmmbl.9	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
11		smfinfdmmbl.10	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
12		eqid 2730	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smfinfdmmbllem 46819	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2878  ∀wral 3046  ∃wrex 3055  {crab 3411  ∩ ciin 4964   class class class wbr 5115   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5646  ran crn 5647  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  infcinf 9410  ℝcr 11085   < clt 11226   ≤ cle 11227  -cneg 11424  ℕcn 12197  ℤcz 12545  ℤ_≥cuz 12809  SAlgcsalg 46279  SMblFncsmblfn 46666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cc 10406  ax-ac2 10434  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-omul 8448  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-card 9910  df-acn 9913  df-ac 10087  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-q 12922  df-rp 12966  df-ioo 13323  df-ico 13325  df-fl 13766  df-rest 17391  df-salg 46280  df-smblfn 46667

This theorem is referenced by: (None)