Theorem smfinfdmmbl 47859

Description: If a countable set of sigma-measurable functions have domains in the sigma-algebra, then their infimum function has the domain in the sigma-algebra. This is the fifth statement of Proposition 121H of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinfdmmbl.1	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
smfinfdmmbl.2	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfinfdmmbl.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfinfdmmbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smfinfdmmbl.5	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smfinfdmmbl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfinfdmmbl.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfinfdmmbl.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
smfinfdmmbl.9	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
smfinfdmmbl.10	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
smfinfdmmbl	⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐹   𝑆,𝑛   𝑥,𝑍,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem smfinfdmmbl

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinfdmmbl.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
2		smfinfdmmbl.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		nfv 1946	. 2 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
4		smfinfdmmbl.3	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		smfinfdmmbl.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		smfinfdmmbl.5	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7		smfinfdmmbl.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfinfdmmbl.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
9		smfinfdmmbl.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → dom (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑆)
10		smfinfdmmbl.9	. 2 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 dom (𝐹‘𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 𝑦 ≤ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}
11		smfinfdmmbl.10	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ inf(ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
12		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)})) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑛) ∣ -𝑚 < ((𝐹‘𝑛)‘𝑥)}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	smfinfdmmbllem 47858	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412  ∩ ciin 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  infcinf 9433  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344   -cneg 11542  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  SAlgcsalg 47318  SMblFncsmblfn 47705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-fl 13932  df-rest 17593  df-salg 47319  df-smblfn 47706

This theorem is used by: (None)