Theorem smfpreimagt 41712

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagt.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		smfpreimagt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpreimagt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfpreimagt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3, 4	issmfgt 41707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
6	2, 5	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
7	6	simp3d 1175	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		breq1 4846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)))
9	8	rabbidv 3373	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)})
10	9	eleq1d 2863	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	rspcva 3495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	1, 7, 11	syl2anc 580	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  {crab 3093   ⊆ wss 3769  ∪ cuni 4628   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℝcr 10223   < clt 10363   ↾_t crest 16396  SAlgcsalg 41267  SMblFncsmblfn 41651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-fl 12848  df-rest 16398  df-salg 41268  df-smblfn 41652

This theorem is referenced by:  smfpreimagtf  41718  issmfge  41720