Theorem smfpreimagt 47190

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagt.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		smfpreimagt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpreimagt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfpreimagt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3, 4	issmfgt 47184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
6	2, 5	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
7	6	simp3d 1145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		breq1 5088	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)))
9	8	rabbidv 3396	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)})
10	9	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	rspcva 3562	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	1, 7, 11	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   < clt 11179   ↾_t crest 17383  SAlgcsalg 46736  SMblFncsmblfn 47123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fl 13751  df-rest 17385  df-salg 46737  df-smblfn 47124

This theorem is referenced by:  smfpreimagtf  47196  issmfge  47198