Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimagt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimagt 42906
 Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimagt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagt.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagt.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagt.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimagt (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagt
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimagt.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 smfpreimagt.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpreimagt.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfpreimagt.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
53, 4issmfgt 42901 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))))
62, 5mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
76simp3d 1138 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 breq1 5065 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹𝑥)))
98rabbidv 3485 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)})
109eleq1d 2901 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110rspcva 3624 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
121, 7, 11syl2anc 584 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  {crab 3146   ⊆ wss 3939  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  ℝcr 10528   < clt 10667   ↾t crest 16686  SAlgcsalg 42461  SMblFncsmblfn 42845 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-fl 13155  df-rest 16688  df-salg 42462  df-smblfn 42846 This theorem is referenced by:  smfpreimagtf  42912  issmfge  42914
 Copyright terms: Public domain W3C validator