Theorem smfpreimagt 46122

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagt.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagt	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagt

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		smfpreimagt.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3		smfpreimagt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
4		smfpreimagt.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3, 4	issmfgt 46116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
6	2, 5	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
7	6	simp3d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8		breq1 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)))
9	8	rabbidv 3435	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)})
10	9	eleq1d 2813	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
11	10	rspcva 3605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
12	1, 7, 11	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427   ⊆ wss 3944  ∪ cuni 4903   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11131   < clt 11272   ↾_t crest 17395  SAlgcsalg 45668  SMblFncsmblfn 46055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-fl 13783  df-rest 17397  df-salg 45669  df-smblfn 46056

This theorem is referenced by:  smfpreimagtf  46128  issmfge  46130