Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimagt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimagt 46122
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimagt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagt.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagt.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagt.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimagt (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagt
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimagt.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 smfpreimagt.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 smfpreimagt.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfpreimagt.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
53, 4issmfgt 46116 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))))
62, 5mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
76simp3d 1142 . 2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
8 breq1 5145 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹𝑥)))
98rabbidv 3435 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} = {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)})
109eleq1d 2813 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ({𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)))
1110rspcva 3605 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷𝑎 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷)) → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
121, 7, 11syl2anc 583 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  {crab 3427  wss 3944   cuni 4903   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cr 11131   < clt 11272  t crest 17395  SAlgcsalg 45668  SMblFncsmblfn 46055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-ac2 10480  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-card 9956  df-acn 9959  df-ac 10133  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-fl 13783  df-rest 17397  df-salg 45669  df-smblfn 46056
This theorem is referenced by:  smfpreimagtf  46128  issmfge  46130
  Copyright terms: Public domain W3C validator