Theorem issmfgtd 46717

Description: A sufficient condition for "𝐹 being a measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
issmfgtd.a	⊢ Ⅎ𝑎𝜑
issmfgtd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
issmfgtd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
issmfgtd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
issmfgtd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
issmfgtd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝐹,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem issmfgtd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issmfgtd.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
2	1	fdmd 6747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
3		issmfgtd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
4	2, 3	eqsstrd 4034	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆)
5	1	ffdmd 6767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
6		issmfgtd.a	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
7		issmfgtd.p	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
8	2	rabeqdv 3449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)})
10	2	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑆 ↾t dom 𝐹) = (𝑆 ↾t 𝐷))
12	9, 11	eleq12d 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹) ↔ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
13	7, 12	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ ℝ → {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
15	6, 14	ralrimi 3255	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))
16	4, 5, 15	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹)))
17		issmfgtd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
18		eqid 2735	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom 𝐹
19	17, 18	issmfgt 46712	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (dom 𝐹 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑎 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom 𝐹))))
20	16, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   < clt 11293   ↾_t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652

This theorem is referenced by:  decsmf  46723