Theorem smfpreimagtf 43401

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagtf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpreimagtf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagtf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagtf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
2		smfpreimagtf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfdm 5787	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
4	1, 3	nfcxfr 2953	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
6		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 < (𝐹‘𝑥)
7		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
9		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
10	2, 9	nffv 6655	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
11	7, 8, 10	nfbr 5077	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 < (𝐹‘𝑦)
12		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	12	breq2d 5042	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)))
14	4, 5, 6, 11, 13	cbvrabw 3437	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)})
16		smfpreimagtf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		smfpreimagtf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpreimagtf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19	16, 17, 1, 18	smfpreimagt 43395	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	15, 19	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  {crab 3110   class class class wbr 5030  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   < clt 10664   ↾_t crest 16686  SAlgcsalg 42950  SMblFncsmblfn 43334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fl 13157  df-rest 16688  df-salg 42951  df-smblfn 43335

This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  43413  smfpimgtmpt  43414