Theorem smfpreimagtf 47214

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagtf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpreimagtf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagtf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagtf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
2		smfpreimagtf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfdm 5900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
4	1, 3	nfcxfr 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
6		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 < (𝐹‘𝑥)
7		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
9		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
10	2, 9	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
11	7, 8, 10	nfbr 5133	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 < (𝐹‘𝑦)
12		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	12	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)))
14	4, 5, 6, 11, 13	cbvrabw 3425	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)})
16		smfpreimagtf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		smfpreimagtf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpreimagtf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19	16, 17, 1, 18	smfpreimagt 47208	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	15, 19	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  {crab 3390   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028   < clt 11170   ↾_t crest 17374  SAlgcsalg 46754  SMblFncsmblfn 47141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fl 13742  df-rest 17376  df-salg 46755  df-smblfn 47142

This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  47226  smfpimgtmpt  47227