Theorem smfpreimagtf 47523

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagtf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpreimagtf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagtf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagtf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
2		smfpreimagtf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfdm 5946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
4	1, 3	nfcxfr 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2928	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
6		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 < (𝐹‘𝑥)
7		nfcv 2928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8		nfcv 2928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
9		nfcv 2928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
10	2, 9	nffv 6898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
11	7, 8, 10	nfbr 5163	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 < (𝐹‘𝑦)
12		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	12	breq2d 5126	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)))
14	4, 5, 6, 11, 13	cbvrabw 3454	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)})
16		smfpreimagtf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		smfpreimagtf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpreimagtf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19	16, 17, 1, 18	smfpreimagt 47517	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	15, 19	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913  {crab 3419   class class class wbr 5114  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   < clt 11261   ↾_t crest 17498  SAlgcsalg 47063  SMblFncsmblfn 47450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fl 13845  df-rest 17500  df-salg 47064  df-smblfn 47451

This theorem is used by:  smfpimgtxr  47535  smfpimgtmpt  47536