Theorem smfpreimagtf 46215

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagtf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpreimagtf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagtf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagtf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
2		smfpreimagtf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfdm 5948	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
4	1, 3	nfcxfr 2890	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
6		nfv 1909	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 < (𝐹‘𝑥)
7		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
9		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
10	2, 9	nffv 6900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
11	7, 8, 10	nfbr 5191	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 < (𝐹‘𝑦)
12		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	12	breq2d 5156	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)))
14	4, 5, 6, 11, 13	cbvrabw 3456	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)})
16		smfpreimagtf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		smfpreimagtf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpreimagtf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19	16, 17, 1, 18	smfpreimagt 46209	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	15, 19	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  {crab 3419   class class class wbr 5144  dom cdm 5673  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℝcr 11132   < clt 11273   ↾_t crest 17396  SAlgcsalg 45755  SMblFncsmblfn 46142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-ac2 10481  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-card 9957  df-acn 9960  df-ac 10134  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fl 13784  df-rest 17398  df-salg 45756  df-smblfn 46143

This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  46227  smfpimgtmpt  46228