Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpreimagtf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpreimagtf 41640
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpreimagtf.x 𝑥𝐹
smfpreimagtf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfpreimagtf (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfpreimagtf.d . . . . 5 𝐷 = dom 𝐹
2 smfpreimagtf.x . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfdm 5538 . . . . 5 𝑥dom 𝐹
41, 3nfcxfr 2905 . . . 4 𝑥𝐷
5 nfcv 2907 . . . 4 𝑦𝐷
6 nfv 2009 . . . 4 𝑦 𝐴 < (𝐹𝑥)
7 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥𝐴
8 nfcv 2907 . . . . 5 𝑥 <
9 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝑦
102, 9nffv 6389 . . . . 5 𝑥(𝐹𝑦)
117, 8, 10nfbr 4858 . . . 4 𝑥 𝐴 < (𝐹𝑦)
12 fveq2 6379 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
1312breq2d 4823 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹𝑦)))
144, 5, 6, 11, 13cbvrab 3347 . . 3 {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷𝐴 < (𝐹𝑦)}
1514a1i 11 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} = {𝑦𝐷𝐴 < (𝐹𝑦)})
16 smfpreimagtf.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
17 smfpreimagtf.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18 smfpreimagtf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1916, 17, 1, 18smfpreimagt 41634 . 2 (𝜑 → {𝑦𝐷𝐴 < (𝐹𝑦)} ∈ (𝑆t 𝐷))
2015, 19eqeltrd 2844 1 (𝜑 → {𝑥𝐷𝐴 < (𝐹𝑥)} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wnfc 2894  {crab 3059   class class class wbr 4811  dom cdm 5279  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192   < clt 10332  t crest 16361  SAlgcsalg 41189  SMblFncsmblfn 41573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cc 9514  ax-ac2 9542  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-sup 8559  df-inf 8560  df-card 9020  df-acn 9023  df-ac 9194  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-ioo 12386  df-ico 12388  df-fl 12806  df-rest 16363  df-salg 41190  df-smblfn 41574
This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  41652  smfpimgtmpt  41653
  Copyright terms: Public domain W3C validator