Theorem smfpreimagtf 46069

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpreimagtf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpreimagtf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpreimagtf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpreimagtf.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpreimagtf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfpreimagtf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpreimagtf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimagtf.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
2		smfpreimagtf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfdm 5947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
4	1, 3	nfcxfr 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
5		nfcv 2898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐷
6		nfv 1910	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐴 < (𝐹‘𝑥)
7		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
9		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
10	2, 9	nffv 6901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
11	7, 8, 10	nfbr 5189	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 < (𝐹‘𝑦)
12		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
13	12	breq2d 5154	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)))
14	4, 5, 6, 11, 13	cbvrabw 3462	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)}
15	14	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)})
16		smfpreimagtf.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
17		smfpreimagtf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
18		smfpreimagtf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
19	16, 17, 1, 18	smfpreimagt 46063	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	15, 19	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 < (𝐹‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2878  {crab 3427   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11123   < clt 11264   ↾_t crest 17387  SAlgcsalg 45609  SMblFncsmblfn 45996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-ac2 10472  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-acn 9951  df-ac 10125  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-fl 13775  df-rest 17389  df-salg 45610  df-smblfn 45997

This theorem is referenced by:  smfpimgtxr  46081  smfpimgtmpt  46082