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Theorem sqrlem7 14467

Description: Lemma for 01sqrex 14468. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

**Assertion**
Ref	Expression
sqrlem7	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑦,𝑆 𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦 𝑦,𝐵 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑎,𝑏) 𝑆(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem7 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		sqrlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		sqrlem5.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	sqrlem6 14466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
5	1, 2	sqrlem3 14463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
7	1, 2	sqrlem4 14464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
8	7	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
9	8	simpld 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
10		rpre 12210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		rpre 12210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantr 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 13424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
16	11, 15	resubcld 10867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
17	16	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
18	15, 11	posdifd 11026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
19	18	biimpa 469	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
20	17, 19	elrpd 12243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺)
21		3rp 12208	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
22		rpdivcl 12229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
23	20, 21, 22	sylancl 578	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
24	9, 23	rpaddcld 12261	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺)
25	14	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		3nn 11517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
28		nndivre 11479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
30	29	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32		binom2 13392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
33	26, 31, 32	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
34	15	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36		2re 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37	25, 30	remulcld 10468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38		remulcl 10418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 579	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
41	30	resqcld 13424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 10466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
43	35, 40, 42	addassd 10460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
44	33, 43	eqtrd 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45		2cn 11513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		mulass 10421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
47	45, 26, 31, 46	mp3an2i 1446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
48	47	eqcomd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
49	31	sqvald 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
50	48, 49	oveq12d 6992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51		remulcl 10418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	36, 25, 51	sylancr 579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	recnd 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	53, 31, 31	adddird 10463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
55	50, 54	eqtr4d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
56	7	simprd 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57		1red 10438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58		2rp 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ⁺)
60	14, 57, 59	lemul2d 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
61	56, 60	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
62	61	adantr 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63		2t1e2 11608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
64	62, 63	syl6breq 4966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
65	11	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66		1red 10438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
67	25	sqge0d 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
68	65, 34	addge01d 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
69	67, 68	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
70	65, 34, 65	lesubaddd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
71	69, 70	mpbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72		simplr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
73	17, 65, 66, 71, 72	letrd 10595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74		1le3 11657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≤ 3
75		1re 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		3re 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
77		letr 10532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
78	75, 76, 77	mp3an23 1433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
79	17, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
80	74, 79	mpan2i 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
81	73, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82		3t1e3 11610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
83	81, 82	syl6breqr 4967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84		3pos 11550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 3
85		ledivmul 11315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
86	75, 85	mp3an2 1429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
87	76, 84, 86	mpanr12 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
88	17, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
89	83, 88	mpbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90		le2add 10921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
91	36, 75, 90	mpanr12 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
92	52, 30, 91	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
93	64, 89, 92	mp2and 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94		df-3 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	93, 94	syl6breqr 4967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
96	52, 30	readdcld 10467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
97	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
98	96, 97, 23	lemul1d 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
99	95, 98	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
100	17	recnd 10466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101		3cn 11519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
102		3ne0 11551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
103		divcan2 11105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104	101, 102, 103	mp3an23 1433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105	100, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106	99, 105	breqtrd 4951	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
107	55, 106	eqbrtrd 4947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
108	39, 41	readdcld 10467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
109	34, 108, 65	leaddsub2d 11041	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110	107, 109	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
111	44, 110	eqbrtrd 4947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112		oveq1 6981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113	112	breq1d 4935	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114		oveq1 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115	114	breq1d 4935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116	115	cbvrabv 3405	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
117	1, 116	eqtri 2795	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118	113, 117	elrab2 3592	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
119	24, 111, 118	sylanbrc 575	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120		suprub 11401	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121	120, 2	syl6breqr 4967	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
122	6, 119, 121	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
123	23	rpgt0d 12249	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
124	29, 14	ltaddposd 11023	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
125	14, 29	readdcld 10467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
126	14, 125	ltnled 10585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127	124, 126	bitrd 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128	127	biimpa 469	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129	123, 128	syldan 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130	122, 129	pm2.65da 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
131	15, 11	eqleltd 10582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
132	4, 130, 131	mpbir2and 701	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 387 ∧ w3a 1069 = wceq 1508 ∈ wcel 2051 {cab 2751 ≠ wne 2960 ∀wral 3081 ∃wrex 3082 {crab 3085 ⊆ wss 3822 ∅c0 4172 class class class wbr 4925 (class class class)co 6974 supcsup 8697 ℂcc 10331 ℝcr 10332 0cc0 10333 1c1 10334 + caddc 10336 · cmul 10338 < clt 10472 ≤ cle 10473 − cmin 10668 / cdiv 11096 ℕcn 11437 2c2 11493 3c3 11494 ℝ⁺crp 12202 ↑cexp 13242

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1759 ax-4 1773 ax-5 1870 ax-6 1929 ax-7 1966 ax-8 2053 ax-9 2060 ax-10 2080 ax-11 2094 ax-12 2107 ax-13 2302 ax-ext 2743 ax-sep 5056 ax-nul 5063 ax-pow 5115 ax-pr 5182 ax-un 7277 ax-cnex 10389 ax-resscn 10390 ax-1cn 10391 ax-icn 10392 ax-addcl 10393 ax-addrcl 10394 ax-mulcl 10395 ax-mulrcl 10396 ax-mulcom 10397 ax-addass 10398 ax-mulass 10399 ax-distr 10400 ax-i2m1 10401 ax-1ne0 10402 ax-1rid 10403 ax-rnegex 10404 ax-rrecex 10405 ax-cnre 10406 ax-pre-lttri 10407 ax-pre-lttrn 10408 ax-pre-ltadd 10409 ax-pre-mulgt0 10410 ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 388 df-or 835 df-3or 1070 df-3an 1071 df-tru 1511 df-ex 1744 df-nf 1748 df-sb 2017 df-mo 2548 df-eu 2585 df-clab 2752 df-cleq 2764 df-clel 2839 df-nfc 2911 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3086 df-rex 3087 df-reu 3088 df-rmo 3089 df-rab 3090 df-v 3410 df-sbc 3675 df-csb 3780 df-dif 3825 df-un 3827 df-in 3829 df-ss 3836 df-pss 3838 df-nul 4173 df-if 4345 df-pw 4418 df-sn 4436 df-pr 4438 df-tp 4440 df-op 4442 df-uni 4709 df-iun 4790 df-br 4926 df-opab 4988 df-mpt 5005 df-tr 5027 df-id 5308 df-eprel 5313 df-po 5322 df-so 5323 df-fr 5362 df-we 5364 df-xp 5409 df-rel 5410 df-cnv 5411 df-co 5412 df-dm 5413 df-rn 5414 df-res 5415 df-ima 5416 df-pred 5983 df-ord 6029 df-on 6030 df-lim 6031 df-suc 6032 df-iota 6149 df-fun 6187 df-fn 6188 df-f 6189 df-f1 6190 df-fo 6191 df-f1o 6192 df-fv 6193 df-riota 6935 df-ov 6977 df-oprab 6978 df-mpo 6979 df-om 7395 df-2nd 7500 df-wrecs 7748 df-recs 7810 df-rdg 7848 df-er 8087 df-en 8305 df-dom 8306 df-sdom 8307 df-sup 8699 df-pnf 10474 df-mnf 10475 df-xr 10476 df-ltxr 10477 df-le 10478 df-sub 10670 df-neg 10671 df-div 11097 df-nn 11438 df-2 11501 df-3 11502 df-n0 11706 df-z 11792 df-uz 12057 df-rp 12203 df-seq 13183 df-exp 13243

This theorem is referenced by: 01sqrex 14468

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