sqrlem7 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > sqrlem7		Structured version Visualization version GIF version

Theorem sqrlem7 15029

Description: Lemma for 01sqrex 15030. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
sqrlem1.2	⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
sqrlem5.3	⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}

**Assertion**
Ref	Expression
sqrlem7	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑦,𝑆 𝑥,𝑎,𝐴,𝑏,𝑦 𝑦,𝐵 Allowed substitution hints: 𝐵(𝑥,𝑎,𝑏) 𝑆(𝑥) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem sqrlem7 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴}
2		sqrlem1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = sup(𝑆, ℝ, < )
3		sqrlem5.3	. . 3 ⊢ 𝑇 = {𝑦 ∣ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 𝑦 = (𝑎 · 𝑏)}
4	1, 2, 3	sqrlem6 15028	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ≤ 𝐴)
5	1, 2	sqrlem3 15025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦))
7	1, 2	sqrlem4 15026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1))
9	8	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ⁺)
10		rpre 12808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ⁺ → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
12		rpre 12808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ⁺ → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐵 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
16	11, 15	resubcld 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
18	15, 11	posdifd 11632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 − (𝐵↑2))))
19	18	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < (𝐴 − (𝐵↑2)))
20	17, 19	elrpd 12839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺)
21		3rp 12806	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
22		rpdivcl 12825	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ⁺)
24	9, 23	rpaddcld 12857	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺)
25	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	recnd 11073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27		3nn 12122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
28		nndivre 12084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
29	16, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ)
32		binom2 14003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
33	26, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)))
34	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
36		2re 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37	25, 30	remulcld 11075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
38		remulcl 11026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
39	36, 37, 38	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) ∈ ℂ)
41	30	resqcld 14035	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) ∈ ℂ)
43	35, 40, 42	addassd 11067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
44	33, 43	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) = ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))))
45		2cn 12118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
46		mulass 11029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
47	45, 26, 31, 46	mp3an2i 1465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
48	47	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) = ((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
49	31	sqvald 13931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2) = (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
50	48, 49	oveq12d 7331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
51		remulcl 11026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
52	36, 25, 51	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
54	53, 31, 31	adddird 11070	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (((2 · 𝐵) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
55	50, 54	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) = (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
56	7	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 𝐵 ≤ 1)
57		1red 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
58		2rp 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → 2 ∈ ℝ⁺)
60	14, 57, 59	lemul2d 12886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1)))
61	56, 60	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ (2 · 1))
63		2t1e2 12206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
64	62, 63	breqtrdi 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (2 · 𝐵) ≤ 2)
65	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
66		1red 11046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
67	25	sqge0d 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 ≤ (𝐵↑2))
68	65, 34	addge01d 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (0 ≤ (𝐵↑2) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
69	67, 68	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2)))
70	65, 34, 65	lesubaddd 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐵↑2))))
71	69, 70	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 𝐴)
72		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 𝐴 ≤ 1)
73	17, 65, 66, 71, 72	letrd 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1)
74		1le3 12255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≤ 3
75		1re 11045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		3re 12123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
77		letr 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
78	75, 76, 77	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
79	17, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
80	74, 79	mpan2i 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 1 → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3))
81	73, 80	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ 3)
82		3t1e3 12208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 1) = 3
83	81, 82	breqtrrdi 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1))
84		3pos 12148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 3
85		ledivmul 11921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
86	75, 85	mp3an2 1448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
87	76, 84, 86	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℝ → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
88	17, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1 ↔ (𝐴 − (𝐵↑2)) ≤ (3 · 1)))
89	83, 88	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1)
90		le2add 11527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
91	36, 75, 90	mpanr12 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ∈ ℝ) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
92	52, 30, 91	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) ≤ 2 ∧ ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ≤ 1) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1)))
93	64, 89, 92	mp2and 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (2 + 1))
94		df-3 12107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
95	93, 94	breqtrrdi 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3)
96	52, 30	readdcld 11074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
97	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 3 ∈ ℝ)
98	96, 97, 23	lemul1d 12885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 3 ↔ (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
99	95, 98	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)))
100	17	recnd 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
101		3cn 12124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
102		3ne0 12149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
103		divcan2 11711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
104	101, 102, 103	mp3an23 1452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − (𝐵↑2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
105	100, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (3 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) = (𝐴 − (𝐵↑2)))
106	99, 105	breqtrd 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((2 · 𝐵) + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
107	55, 106	eqbrtrd 5107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2)))
108	39, 41	readdcld 11074	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ∈ ℝ)
109	34, 108, 65	leaddsub2d 11647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴 ↔ ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2)) ≤ (𝐴 − (𝐵↑2))))
110	107, 109	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵↑2) + ((2 · (𝐵 · ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))) + (((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)↑2))) ≤ 𝐴)
111	44, 110	eqbrtrd 5107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴)
112		oveq1 7320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → (𝑦↑2) = ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2))
113	112	breq1d 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ((𝑦↑2) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
114		oveq1 7320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
115	114	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥↑2) ≤ 𝐴 ↔ (𝑦↑2) ≤ 𝐴))
116	115	cbvrabv 3414	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑥↑2) ≤ 𝐴} = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
117	1, 116	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ ℝ⁺ ∣ (𝑦↑2) ≤ 𝐴}
118	113, 117	elrab2 3636	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))↑2) ≤ 𝐴))
119	24, 111, 118	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆)
120		suprub 12006	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
121	120, 2	breqtrrdi 5127	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝑦) ∧ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ 𝑆) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
122	6, 119, 121	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
123	23	rpgt0d 12845	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))
124	29, 14	ltaddposd 11629	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ 𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3))))
125	14, 29	readdcld 11074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ∈ ℝ)
126	14, 125	ltnled 11192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵 < (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
127	124, 126	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3) ↔ ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵))
128	127	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ 0 < ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
129	123, 128	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) ∧ (𝐵↑2) < 𝐴) → ¬ (𝐵 + ((𝐴 − (𝐵↑2)) / 3)) ≤ 𝐵)
130	122, 129	pm2.65da 814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)
131	15, 11	eqleltd 11189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → ((𝐵↑2) = 𝐴 ↔ ((𝐵↑2) ≤ 𝐴 ∧ ¬ (𝐵↑2) < 𝐴)))
132	4, 130, 131	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝐴 ≤ 1) → (𝐵↑2) = 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 {cab 2714 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 {crab 3404 ⊆ wss 3896 ∅c0 4266 class class class wbr 5085 (class class class)co 7313 supcsup 9267 ℂcc 10939 ℝcr 10940 0cc0 10941 1c1 10942 + caddc 10944 · cmul 10946 < clt 11079 ≤ cle 11080 − cmin 11275 / cdiv 11702 ℕcn 12043 2c2 12098 3c3 12099 ℝ⁺crp 12800 ↑cexp 13852

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2708 ax-sep 5236 ax-nul 5243 ax-pow 5301 ax-pr 5365 ax-un 7626 ax-cnex 10997 ax-resscn 10998 ax-1cn 10999 ax-icn 11000 ax-addcl 11001 ax-addrcl 11002 ax-mulcl 11003 ax-mulrcl 11004 ax-mulcom 11005 ax-addass 11006 ax-mulass 11007 ax-distr 11008 ax-i2m1 11009 ax-1ne0 11010 ax-1rid 11011 ax-rnegex 11012 ax-rrecex 11013 ax-cnre 11014 ax-pre-lttri 11015 ax-pre-lttrn 11016 ax-pre-ltadd 11017 ax-pre-mulgt0 11018 ax-pre-sup 11019

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3405 df-v 3443 df-sbc 3726 df-csb 3842 df-dif 3899 df-un 3901 df-in 3903 df-ss 3913 df-pss 3915 df-nul 4267 df-if 4470 df-pw 4545 df-sn 4570 df-pr 4572 df-op 4576 df-uni 4849 df-iun 4937 df-br 5086 df-opab 5148 df-mpt 5169 df-tr 5203 df-id 5505 df-eprel 5511 df-po 5519 df-so 5520 df-fr 5560 df-we 5562 df-xp 5611 df-rel 5612 df-cnv 5613 df-co 5614 df-dm 5615 df-rn 5616 df-res 5617 df-ima 5618 df-pred 6222 df-ord 6289 df-on 6290 df-lim 6291 df-suc 6292 df-iota 6415 df-fun 6465 df-fn 6466 df-f 6467 df-f1 6468 df-fo 6469 df-f1o 6470 df-fv 6471 df-riota 7270 df-ov 7316 df-oprab 7317 df-mpo 7318 df-om 7756 df-2nd 7875 df-frecs 8142 df-wrecs 8173 df-recs 8247 df-rdg 8286 df-er 8544 df-en 8780 df-dom 8781 df-sdom 8782 df-sup 9269 df-pnf 11081 df-mnf 11082 df-xr 11083 df-ltxr 11084 df-le 11085 df-sub 11277 df-neg 11278 df-div 11703 df-nn 12044 df-2 12106 df-3 12107 df-n0 12304 df-z 12390 df-uz 12653 df-rp 12801 df-seq 13792 df-exp 13853

This theorem is referenced by: 01sqrex 15030

W3C validator