Theorem tglinesseq 28893

Description: If a line is a subset of another line, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglinesseq.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglinesseq.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglinesseq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglinesseq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglinesseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglinesseq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem tglinesseq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
2		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
4		tglinesseq.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		tglinesseq.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		simp-4r 795	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
8		simpllr 787	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
9		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
10		tglinesseq.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11	10	ad4antr 744	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
12		tglinesseq.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13	12	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	tglinerflx1 28886	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
15	14, 1	eleqtrrd 2873	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
16	13, 15	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
17	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	tglinerflx2 28887	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑥𝐿𝑦))
18	17, 1	eleqtrrd 2873	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
19	13, 18	sseldd 3946	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 16, 19	tglinethru 28889	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
21	1, 20	eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
22	21	anasss 471	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝐴 = 𝐵)
23		tglinesseq.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
24	2, 3, 4, 5, 23	tgisline 28880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑦 ∈ (Base‘𝐺)(𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
25	22, 24	r19.29vva 3232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965   ⊆ wss 3913  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  TarskiGcstrkg 28676  Itvcitv 28682  LineGclng 28683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkg 28702  df-cgrg 28760

This theorem is referenced by:  lnssplnglem  29051