Theorem nrmtngdist 24641

Description: The augmentation of a normed group by its own norm has the same distance function as the normed group (restricted to the base set). (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
nrmtngdist.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nrmtngdist	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem nrmtngdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6841	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) ∈ V
2		nrmtngdist.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
4	2, 3	tngds 24632	. . 3 ⊢ ((norm‘𝐺) ∈ V → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8		nrmtngdist.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	6, 3, 7, 8, 9	isngp2 24581	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
11	10	simp3bi 1153	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
12	5, 11	eqtr3id 2788	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   × cxp 5617   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  distcds 17221  Grpcgrp 18901  -_gcsg 18903  MetSpcms 24302  normcnm 24560  NrmGrpcngp 24561   toNrmGrp ctng 24562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-tset 17231  df-ds 17234  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-xms 24304  df-ms 24305  df-nm 24566  df-ngp 24567  df-tng 24568

This theorem is referenced by:  nrmtngnrm  24642