Theorem nrmtngdist 24545

Description: The augmentation of a normed group by its own norm has the same distance function as the normed group (restricted to the base set). (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
nrmtngdist.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nrmtngdist	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem nrmtngdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6871	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) ∈ V
2		nrmtngdist.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
4	2, 3	tngds 24536	. . 3 ⊢ ((norm‘𝐺) ∈ V → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8		nrmtngdist.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	6, 3, 7, 8, 9	isngp2 24485	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
11	10	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
12	5, 11	eqtr3id 2778	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   × cxp 5636   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  MetSpcms 24206  normcnm 24464  NrmGrpcngp 24465   toNrmGrp ctng 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-tset 17239  df-ds 17242  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-xms 24208  df-ms 24209  df-nm 24470  df-ngp 24471  df-tng 24472

This theorem is referenced by:  nrmtngnrm  24546