Theorem nrmtngdist 24718

Description: The augmentation of a normed group by its own norm has the same distance function as the normed group (restricted to the base set). (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
nrmtngdist.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nrmtngdist	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem nrmtngdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6881	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) ∈ V
2		nrmtngdist.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
4	2, 3	tngds 24709	. . 3 ⊢ ((norm‘𝐺) ∈ V → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8		nrmtngdist.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	6, 3, 7, 8, 9	isngp2 24658	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
11	10	simp3bi 1161	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
12	5, 11	eqtr3id 2812	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   × cxp 5646   ↾ cres 5650   ∘ ccom 5652  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  distcds 17296  Grpcgrp 18976  -_gcsg 18978  MetSpcms 24379  normcnm 24637  NrmGrpcngp 24638   toNrmGrp ctng 24639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-map 8811  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-tset 17306  df-ds 17309  df-0g 17471  df-topgen 17473  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-grp 18979  df-minusg 18980  df-sbg 18981  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-xms 24381  df-ms 24382  df-nm 24643  df-ngp 24644  df-tng 24645

This theorem is referenced by:  nrmtngnrm  24719