Theorem nrmtngdist 24529

Description: The augmentation of a normed group by its own norm has the same distance function as the normed group (restricted to the base set). (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrmtngdist.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
nrmtngdist.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nrmtngdist	⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Proof of Theorem nrmtngdist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6898	. . 3 ⊢ (norm‘𝐺) ∈ V
2		nrmtngdist.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp (norm‘𝐺))
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
4	2, 3	tngds 24519	. . 3 ⊢ ((norm‘𝐺) ∈ V → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇))
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = (dist‘𝑇)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
7		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8		nrmtngdist.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
9		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
10	6, 3, 7, 8, 9	isngp2 24461	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
11	10	simp3bi 1144	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
12	5, 11	eqtr3id 2780	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → (dist‘𝑇) = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   × cxp 5667   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  distcds 17215  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  MetSpcms 24179  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441   toNrmGrp ctng 24442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-tset 17225  df-ds 17228  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-tng 24448

This theorem is referenced by:  nrmtngnrm  24530