MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrmtngdist Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrmtngdist 24592
Description: The augmentation of a normed group by its own norm has the same distance function as the normed group (restricted to the base set). (Contributed by AV, 15-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nrmtngdist.t ๐‘‡ = (๐บ toNrmGrp (normโ€˜๐บ))
nrmtngdist.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
nrmtngdist (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (distโ€˜๐‘‡) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹)))

Proof of Theorem nrmtngdist
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . 3 (normโ€˜๐บ) โˆˆ V
2 nrmtngdist.t . . . 4 ๐‘‡ = (๐บ toNrmGrp (normโ€˜๐บ))
3 eqid 2725 . . . 4 (-gโ€˜๐บ) = (-gโ€˜๐บ)
42, 3tngds 24582 . . 3 ((normโ€˜๐บ) โˆˆ V โ†’ ((normโ€˜๐บ) โˆ˜ (-gโ€˜๐บ)) = (distโ€˜๐‘‡))
51, 4ax-mp 5 . 2 ((normโ€˜๐บ) โˆ˜ (-gโ€˜๐บ)) = (distโ€˜๐‘‡)
6 eqid 2725 . . . 4 (normโ€˜๐บ) = (normโ€˜๐บ)
7 eqid 2725 . . . 4 (distโ€˜๐บ) = (distโ€˜๐บ)
8 nrmtngdist.x . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
9 eqid 2725 . . . 4 ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹)) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹))
106, 3, 7, 8, 9isngp2 24524 . . 3 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐บ โˆˆ MetSp โˆง ((normโ€˜๐บ) โˆ˜ (-gโ€˜๐บ)) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹))))
1110simp3bi 1144 . 2 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ ((normโ€˜๐บ) โˆ˜ (-gโ€˜๐บ)) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹)))
125, 11eqtr3id 2779 1 (๐บ โˆˆ NrmGrp โ†’ (distโ€˜๐‘‡) = ((distโ€˜๐บ) โ†พ (๐‘‹ ร— ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   ร— cxp 5670   โ†พ cres 5674   โˆ˜ ccom 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  distcds 17241  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  MetSpcms 24242  normcnm 24503  NrmGrpcngp 24504   toNrmGrp ctng 24505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-tset 17251  df-ds 17254  df-0g 17422  df-topgen 17424  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-xms 24244  df-ms 24245  df-nm 24509  df-ngp 24510  df-tng 24511
This theorem is referenced by:  nrmtngnrm  24593
  Copyright terms: Public domain W3C validator