Theorem fsumdvds 12007

Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvds	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9337	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		dvds0 11971	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 = 0)
6		fsumdvds.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
7	6	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
8	5, 7	eqbrtrrd 4057	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9		fsumdvds.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		0dvds 11976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 0)
14	13	sumeq2dv 11533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
15		fsumdvds.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	olcd 735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18		isumz 11554	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
21	3, 4, 20	3brtr4d 4065	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
22	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fsumdvds.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9449	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zapne 9400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
29	23, 1, 28	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
30	29	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 # 0)
31	22, 25, 27, 30	fsumdivapc 11615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁))
32	6	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
33	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
35		dvdsval2 11955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
36	33, 34, 26, 35	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
38	22, 37	fsumzcl 11567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
39	31, 38	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
40		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
41	15, 9	fsumzcl 11567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
43		dvdsval2 11955	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
44	24, 40, 42, 43	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
45	39, 44	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
46		zdceq 9401	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
47	23, 1, 46	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 = 0)
48		dcne 2378	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
49	47, 48	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
50	21, 45, 49	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Fincfn 6799  0cc0 7879   # cap 8608   / cdiv 8699  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  Σcsu 11518   ∥ cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  3dvds  12029