Theorem fsumdvds 12024

Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvds	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9354	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		dvds0 11988	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 = 0)
6		fsumdvds.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
7	6	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
8	5, 7	eqbrtrrd 4058	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9		fsumdvds.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		0dvds 11993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 0)
14	13	sumeq2dv 11550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
15		fsumdvds.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	olcd 735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18		isumz 11571	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
21	3, 4, 20	3brtr4d 4066	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
22	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fsumdvds.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zapne 9417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
29	23, 1, 28	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
30	29	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 # 0)
31	22, 25, 27, 30	fsumdivapc 11632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁))
32	6	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
33	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
35		dvdsval2 11972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
36	33, 34, 26, 35	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
38	22, 37	fsumzcl 11584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
39	31, 38	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
40		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
41	15, 9	fsumzcl 11584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
43		dvdsval2 11972	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
44	24, 40, 42, 43	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
45	39, 44	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
46		zdceq 9418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
47	23, 1, 46	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 = 0)
48		dcne 2378	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
49	47, 48	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
50	21, 45, 49	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Fincfn 6808  0cc0 7896   # cap 8625   / cdiv 8716  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  Σcsu 11535   ∥ cdvds 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-dvds 11970

This theorem is referenced by:  3dvds  12046