Theorem fsumdvds 12361

Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvds	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9465	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		dvds0 12325	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 = 0)
6		fsumdvds.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
7	6	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
8	5, 7	eqbrtrrd 4107	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9		fsumdvds.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		0dvds 12330	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 0)
14	13	sumeq2dv 11887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
15		fsumdvds.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	olcd 739	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18		isumz 11908	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
21	3, 4, 20	3brtr4d 4115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
22	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fsumdvds.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9578	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zapne 9529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
29	23, 1, 28	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
30	29	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 # 0)
31	22, 25, 27, 30	fsumdivapc 11969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁))
32	6	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
33	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
35		dvdsval2 12309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
36	33, 34, 26, 35	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
38	22, 37	fsumzcl 11921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
39	31, 38	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
40		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
41	15, 9	fsumzcl 11921	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
43		dvdsval2 12309	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
44	24, 40, 42, 43	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
45	39, 44	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
46		zdceq 9530	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
47	23, 1, 46	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 = 0)
48		dcne 2411	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
49	47, 48	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
50	21, 45, 49	mpjaodan 803	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  0cc0 8007   # cap 8736   / cdiv 8827  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  Σcsu 11872   ∥ cdvds 12306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-dvds 12307

This theorem is referenced by:  3dvds  12383