Theorem fsumdvds 12628

Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvds.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvds	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9660	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		dvds0 12592	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
3	1, 2	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 = 0)
6		fsumdvds.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
7	6	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
8	5, 7	eqbrtrrd 4154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9		fsumdvds.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantlr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		0dvds 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
13	8, 12	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 0)
14	13	sumeq2dv 12153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
15		fsumdvds.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	olcd 746	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18		isumz 12175	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘0)DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19	17, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
20	14, 19	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
21	3, 4, 20	3brtr4d 4162	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
22	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fsumdvds.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	9	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 9774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		zapne 9724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
29	23, 1, 28	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 # 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
30	29	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 # 0)
31	22, 25, 27, 30	fsumdivapc 12236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁))
32	6	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∥ 𝐵)
33	24	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
35		dvdsval2 12576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
36	33, 34, 26, 35	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑁 ∥ 𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
37	32, 36	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
38	22, 37	fsumzcl 12188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
39	31, 38	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
40		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
41	15, 9	fsumzcl 12188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
42	41	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
43		dvdsval2 12576	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
44	24, 40, 42, 43	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
45	39, 44	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
46		zdceq 9725	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
47	23, 1, 46	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 = 0)
48		dcne 2431	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
49	47, 48	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ≠ 0))
50	21, 45, 49	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8180   # cap 8912   / cdiv 9005  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  Σcsu 12138   ∥ cdvds 12573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-ihash 11231  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064  df-sumdc 12139  df-dvds 12574

This theorem is used by:  3dvds  12650