Theorem sqrtrirr 13008

Description: The square root of a nonnegative integer is either rational or irrational. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrirr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sqrtrirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqdcq 13007	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → DECID ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2))
2		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)))
4		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → 𝐴 = (𝑞↑2))
5	4	fveq2d 5699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) = (√‘(𝑞↑2)))
6		qre 10035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → 𝑞 ∈ ℝ)
8	7	absred 11945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (abs‘𝑞) = (√‘(𝑞↑2)))
9	5, 8	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) = (abs‘𝑞))
10		qabscl 11859	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (abs‘𝑞) ∈ ℚ)
11	10	ad2antrl 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (abs‘𝑞) ∈ ℚ)
12	9, 11	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
13	12	rexlimdvaa 2669	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → (√‘𝐴) ∈ ℚ))
14		ralnex 2538	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) ↔ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2))
15		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → ¬ 𝐴 = (𝑞↑2))
16	15	neqned 2427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 ≠ (𝑞↑2))
17		nn0z 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
18		zq 10036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
20	19	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 ∈ ℚ)
21		qsqcl 11063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
22	21	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
23		qapne 10049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℚ) → (𝐴 # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 ≠ (𝑞↑2)))
24	20, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (𝐴 # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 ≠ (𝑞↑2)))
25	16, 24	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 # (𝑞↑2))
26		nn0re 9577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
27		nn0ge0 9593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
28		resqrtth 11813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
30	29	breq1d 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 # (𝑞↑2)))
31	30	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 # (𝑞↑2)))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → ((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2))
33	26, 27	resqrtcld 11946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
34	33	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
35	26, 27	sqrtge0d 11949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘𝐴))
36	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37	6	ad3antlr 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 0 ≤ 𝑞)
39		sq11ap 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ (√‘𝐴) # 𝑞))
40	34, 36, 37, 38, 39	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ (√‘𝐴) # 𝑞))
41	32, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (√‘𝐴) # 𝑞)
42	6	ad3antlr 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 ∈ ℝ)
43	33	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
44		0red 8328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 0 ∈ ℝ)
45		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 < 0)
46	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 0 ≤ (√‘𝐴))
47	42, 44, 43, 45, 46	ltletrd 8753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 < (√‘𝐴))
48	42, 43, 47	gtapd 8968	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → (√‘𝐴) # 𝑞)
49		0z 9660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
50		zq 10036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℚ
52		qlelttric 10688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
53	51, 52	mpan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
54	53	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
55	41, 48, 54	mpjaodan 810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) → (√‘𝐴) # 𝑞)
56	55	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → (√‘𝐴) # 𝑞))
57	56	ralimdva 2617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞))
58	57, 33	jctild 316	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))
59	14, 58	biimtrrid 153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))
60	13, 59	orim12d 798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞))))
61	3, 60	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180   < clt 8361   ≤ cle 8362   # cap 8912  2c2 9358  ℕ₀cn0 9568  ℤcz 9649  ℚcq 10029  ↑cexp 10990  √csqrt 11778  abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7325  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-gcd 12750  df-numer 12982  df-denom 12983

This theorem is used by:  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277