Theorem sqrtrirr 13014

Description: The square root of a nonnegative integer is either rational or irrational. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtrirr	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Proof of Theorem sqrtrirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqdcq 13013	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → DECID ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2))
2		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)))
4		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → 𝐴 = (𝑞↑2))
5	4	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) = (√‘(𝑞↑2)))
6		qre 10041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
7	6	ad2antrl 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → 𝑞 ∈ ℝ)
8	7	absred 11951	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (abs‘𝑞) = (√‘(𝑞↑2)))
9	5, 8	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) = (abs‘𝑞))
10		qabscl 11865	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (abs‘𝑞) ∈ ℚ)
11	10	ad2antrl 494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (abs‘𝑞) ∈ ℚ)
12	9, 11	eqeltrd 2315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝐴 = (𝑞↑2))) → (√‘𝐴) ∈ ℚ)
13	12	rexlimdvaa 2669	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → (√‘𝐴) ∈ ℚ))
14		ralnex 2538	. . . 4 ⊢ (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) ↔ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2))
15		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → ¬ 𝐴 = (𝑞↑2))
16	15	neqned 2427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 ≠ (𝑞↑2))
17		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
18		zq 10042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℚ)
20	19	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 ∈ ℚ)
21		qsqcl 11069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
22	21	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (𝑞↑2) ∈ ℚ)
23		qapne 10055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑞↑2) ∈ ℚ) → (𝐴 # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 ≠ (𝑞↑2)))
24	20, 22, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (𝐴 # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 ≠ (𝑞↑2)))
25	16, 24	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝐴 # (𝑞↑2))
26		nn0re 9583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
27		nn0ge0 9599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
28		resqrtth 11819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
30	29	breq1d 4141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 # (𝑞↑2)))
31	30	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ 𝐴 # (𝑞↑2)))
32	25, 31	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → ((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2))
33	26, 27	resqrtcld 11952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
34	33	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
35	26, 27	sqrtge0d 11955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (√‘𝐴))
36	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 0 ≤ (√‘𝐴))
37	6	ad3antlr 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → 0 ≤ 𝑞)
39		sq11ap 11166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝐴)) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑞)) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ (√‘𝐴) # 𝑞))
40	34, 36, 37, 38, 39	syl22anc 1279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (((√‘𝐴)↑2) # (𝑞↑2) ↔ (√‘𝐴) # 𝑞))
41	32, 40	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 0 ≤ 𝑞) → (√‘𝐴) # 𝑞)
42	6	ad3antlr 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 ∈ ℝ)
43	33	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → (√‘𝐴) ∈ ℝ)
44		0red 8333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 0 ∈ ℝ)
45		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 < 0)
46	35	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 0 ≤ (√‘𝐴))
47	42, 44, 43, 45, 46	ltletrd 8758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → 𝑞 < (√‘𝐴))
48	42, 43, 47	gtapd 8973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) ∧ 𝑞 < 0) → (√‘𝐴) # 𝑞)
49		0z 9666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
50		zq 10042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℚ
52		qlelttric 10694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℚ ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
53	51, 52	mpan 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
54	53	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) → (0 ≤ 𝑞 ∨ 𝑞 < 0))
55	41, 48, 54	mpjaodan 810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2)) → (√‘𝐴) # 𝑞)
56	55	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → (√‘𝐴) # 𝑞))
57	56	ralimdva 2617	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞))
58	57, 33	jctild 316	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑞 ∈ ℚ ¬ 𝐴 = (𝑞↑2) → ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))
59	14, 58	biimtrrid 153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) → ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))
60	13, 59	orim12d 798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2) ∨ ¬ ∃𝑞 ∈ ℚ 𝐴 = (𝑞↑2)) → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞))))
61	3, 60	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((√‘𝐴) ∈ ℚ ∨ ((√‘𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ (√‘𝐴) # 𝑞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184  0cc0 8185   < clt 8366   ≤ cle 8367   # cap 8917  2c2 9364  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℚcq 10035  ↑cexp 10996  √csqrt 11784  abscabs 11785

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-dvds 12580  df-gcd 12756  df-numer 12988  df-denom 12989

This theorem is used by:  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316