Theorem 2lgslem2 27421

Description: Lemma 2 for 2lgs 27433. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		elsng 4637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4		z2even 16367	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
5		breq2 5149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
6	4, 5	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
7	3, 6	biimtrdi 252	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
8	7	con3dimp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
9	2, 8	eldifd 3957	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10		oddprm 16807	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12631	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
13		prmz 16671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13	zred 12712	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15		4re 12342	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17		4ne0 12366	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
19	14, 16, 18	redivcld 12087	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13812	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
22	12, 21	zsubcld 12717	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
23	1, 22	eqeltrid 2830	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3943  {csn 4623   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   − cmin 11485   / cdiv 11912  2c2 12313  4c4 12315  ℤcz 12604  ⌊cfl 13804   ∥ cdvds 16251  ℙcprime 16667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-dvds 16252  df-prm 16668

This theorem is referenced by:  2lgs  27433