Theorem 2lgslem2 26649

Description: Lemma 2 for 2lgs 26661. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		elsng 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4		z2even 16179	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
5		breq2 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
7	3, 6	syl6bi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
8	7	con3dimp 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
9	2, 8	eldifd 3913	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10		oddprm 16609	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12531	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
13		prmz 16478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13	zred 12532	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15		4re 12163	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17		4ne0 12187	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
19	14, 16, 18	redivcld 11909	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13624	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
22	12, 21	zsubcld 12537	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
23	1, 22	eqeltrid 2842	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3899  {csn 4578   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℝcr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   − cmin 11311   / cdiv 11738  2c2 12134  4c4 12136  ℤcz 12425  ⌊cfl 13616   ∥ cdvds 16063  ℙcprime 16474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fl 13618  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-dvds 16064  df-prm 16475

This theorem is referenced by:  2lgs  26661