MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem2 25673
Description: Lemma 2 for 2lgs 25685. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2lgslem2.n 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
Assertion
Ref Expression
2lgslem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2
StepHypRef Expression
1 2lgslem2.n . 2 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2 simpl 475 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 elsng 4455 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4 z2even 15580 . . . . . . . 8 2 ∥ 2
5 breq2 4933 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
64, 5mpbiri 250 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
73, 6syl6bi 245 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
87con3dimp 400 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
92, 8eldifd 3840 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10 oddprm 16003 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1110nnzd 11899 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
13 prmz 15875 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1413zred 11900 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15 4re 11525 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17 4ne0 11555 . . . . . . 7 4 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
1914, 16, 18redivcld 11269 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
2019flcld 12983 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2120adantr 473 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
2212, 21zsubcld 11905 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
231, 22syl5eqel 2870 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  cdif 3826  {csn 4441   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336  cmin 10670   / cdiv 11098  2c2 11495  4c4 11497  cz 11793  cfl 12975  cdvds 15467  cprime 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-dvds 15468  df-prm 15872
This theorem is referenced by:  2lgs  25685
  Copyright terms: Public domain W3C validator