Theorem 2lgslem2 27376

Description: Lemma 2 for 2lgs 27388. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem2	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem 2lgslem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		elsng 4582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} ↔ 𝑃 = 2))
4		z2even 16334	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 2
5		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 ∥ 2))
6	4, 5	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = 2 → 2 ∥ 𝑃)
7	3, 6	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ {2} → 2 ∥ 𝑃))
8	7	con3dimp 408	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ¬ 𝑃 ∈ {2})
9	2, 8	eldifd 3901	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10		oddprm 16776	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12545	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
13		prmz 16639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	13	zred 12628	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
15		4re 12260	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ∈ ℝ)
17		4ne0 12284	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 4 ≠ 0)
19	14, 16, 18	redivcld 11978	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13752	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
22	12, 21	zsubcld 12633	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) ∈ ℤ)
23	1, 22	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   − cmin 11372   / cdiv 11802  2c2 12231  4c4 12233  ℤcz 12519  ⌊cfl 13744   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-prm 16636

This theorem is referenced by:  2lgs  27388