Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3factsumint4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3factsumint4 41547
Description: Move constants out of integrals or sums and/or commute sum and integral. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3factsumint4.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3factsumint4.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
3factsumint4.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
3factsumint4.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
3factsumint4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐น ยท (๐บ ยท ๐ป)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(๐น ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐บ ยท ๐ป)) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem 3factsumint4
StepHypRef Expression
1 3factsumint4.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
21adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
3 3factsumint4.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โˆˆ โ„‚)
4 3factsumint4.3 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
54adantlr 713 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
6 3factsumint4.4 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
7 anass 467 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)))
87bicomi 223 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต))
98imbi1i 348 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚) โ†” (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚))
106, 9mpbi 229 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
115, 10mulcld 11259 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐บ ยท ๐ป) โˆˆ โ„‚)
122, 3, 11fsummulc2 15757 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐น ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐บ ยท ๐ป)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐น ยท (๐บ ยท ๐ป)))
1312eqcomd 2731 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐น ยท (๐บ ยท ๐ป)) = (๐น ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐บ ยท ๐ป)))
1413itgeq2dv 25724 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐น ยท (๐บ ยท ๐ป)) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(๐น ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐บ ยท ๐ป)) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  โ„‚cc 11131   ยท cmul 11138  ฮฃcsu 15659  โˆซcitg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-itg 25565
This theorem is referenced by:  3factsumint  41548
  Copyright terms: Public domain W3C validator