Theorem 7gbow 45282

Description: 7 is a weak odd Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
7gbow	⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Proof of Theorem 7gbow

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7odd 45222	. 2 ⊢ 7 ∈ Odd
2		2prm 16442	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		3prm 16444	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		gbpart7 45277	. . . 4 ⊢ 7 = ((2 + 2) + 3)
5		oveq2 7315	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → ((2 + 2) + 𝑟) = ((2 + 2) + 3))
6	5	rspceeqv 3580	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 7 = ((2 + 2) + 3)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟))
7	3, 4, 6	mp2an 690	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)
8		oveq1 7314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
9	8	oveq1d 7322	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
10	9	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
11	10	rexbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
12		oveq2 7315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 2 → (2 + 𝑞) = (2 + 2))
13	12	oveq1d 7322	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 2 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 2) + 𝑟))
14	13	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 2 → (7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
15	14	rexbidv 3172	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
16	11, 15	rspc2ev 3577	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
17	2, 2, 7, 16	mp3an 1461	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
18		isgbow 45262	. 2 ⊢ (7 ∈ GoldbachOddW ↔ (7 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
19	1, 17, 18	mpbir2an 709	1 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071  (class class class)co 7307   + caddc 10920  2c2 12074  3c3 12075  7c7 12079  ℙcprime 16421   Odd codd 45135   GoldbachOddW cgbow 45256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fz 13286  df-seq 13768  df-exp 13829  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-dvds 16009  df-prm 16422  df-even 45136  df-odd 45137  df-gbow 45259

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  45286  sbgoldbwt  45287