Theorem 7gbow 47770

Description: 7 is a weak odd Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
7gbow	⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Proof of Theorem 7gbow

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7odd 47710	. 2 ⊢ 7 ∈ Odd
2		2prm 16590	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℙ
3		3prm 16592	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℙ
4		gbpart7 47765	. . . 4 ⊢ 7 = ((2 + 2) + 3)
5		oveq2 7348	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 3 → ((2 + 2) + 𝑟) = ((2 + 2) + 3))
6	5	rspceeqv 3597	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 7 = ((2 + 2) + 3)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟))
7	3, 4, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)
8		oveq1 7347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
9	8	oveq1d 7355	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
10	9	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 2 → (7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
11	10	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
12		oveq2 7348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 2 → (2 + 𝑞) = (2 + 2))
13	12	oveq1d 7355	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 2 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 2) + 𝑟))
14	13	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 2 → (7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
15	14	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
16	11, 15	rspc2ev 3587	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
17	2, 2, 7, 16	mp3an 1463	. 2 ⊢ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
18		isgbow 47750	. 2 ⊢ (7 ∈ GoldbachOddW ↔ (7 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
19	1, 17, 18	mpbir2an 711	1 ⊢ 7 ∈ GoldbachOddW

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7340   + caddc 11000  2c2 12171  3c3 12172  7c7 12176  ℙcprime 16569   Odd codd 47623   GoldbachOddW cgbow 47744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-fz 13399  df-seq 13897  df-exp 13957  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16151  df-prm 16570  df-even 47624  df-odd 47625  df-gbow 47747

This theorem is referenced by:  stgoldbwt  47774  sbgoldbwt  47775