Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  7gbow Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 7gbow 47106
Description: 7 is a weak odd Goldbach number. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
7gbow 7 ∈ GoldbachOddW

Proof of Theorem 7gbow
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 7odd 47046 . 2 7 ∈ Odd
2 2prm 16656 . . 3 2 ∈ ℙ
3 3prm 16658 . . . 4 3 ∈ ℙ
4 gbpart7 47101 . . . 4 7 = ((2 + 2) + 3)
5 oveq2 7422 . . . . 5 (𝑟 = 3 → ((2 + 2) + 𝑟) = ((2 + 2) + 3))
65rspceeqv 3630 . . . 4 ((3 ∈ ℙ ∧ 7 = ((2 + 2) + 3)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟))
73, 4, 6mp2an 691 . . 3 𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)
8 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
98oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
109eqeq2d 2739 . . . . 5 (𝑝 = 2 → (7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
1110rexbidv 3174 . . . 4 (𝑝 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
12 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑞 = 2 → (2 + 𝑞) = (2 + 2))
1312oveq1d 7429 . . . . . 6 (𝑞 = 2 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 2) + 𝑟))
1413eqeq2d 2739 . . . . 5 (𝑞 = 2 → (7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
1514rexbidv 3174 . . . 4 (𝑞 = 2 → (∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)))
1611, 15rspc2ev 3621 . . 3 ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((2 + 2) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
172, 2, 7, 16mp3an 1458 . 2 𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)
18 isgbow 47086 . 2 (7 ∈ GoldbachOddW ↔ (7 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 7 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
191, 17, 18mpbir2an 710 1 7 ∈ GoldbachOddW
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3066  (class class class)co 7414   + caddc 11135  2c2 12291  3c3 12292  7c7 12296  cprime 16635   Odd codd 46959   GoldbachOddW cgbow 47080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-prm 16636  df-even 46960  df-odd 46961  df-gbow 47083
This theorem is referenced by:  stgoldbwt  47110  sbgoldbwt  47111
  Copyright terms: Public domain W3C validator