Theorem fproddvdsd 16283

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fproddvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fproddvdsd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fproddvdsd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
3		f1oi 6872	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4		f1of 6834	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
6	1, 2, 5	fprodfvdvdsd 16282	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
7	2	sselda 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		fvresi 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
11	2	sseld 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
13	12	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		fvresi 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
16	15	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
17	16	prodeq2dv 15872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
18	10, 17	breq12d 5162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
19	18	ralbidva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
20	6, 19	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   I cid 5574   ↾ cres 5679  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  Fincfn 8942  ℤcz 12563  ∏cprod 15854   ∥ cdvds 16202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855  df-dvds 16203

This theorem is referenced by:  absproddvds  16559