MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddvdsd 16151
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddvdsd.f (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
Assertion
Ref Expression
fproddvdsd (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem fproddvdsd
StepHypRef Expression
1 fproddvdsd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 fproddvdsd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
3 f1oi 6817 . . . 4 ( I β†Ύ β„€):℀–1-1-ontoβ†’β„€
4 f1of 6779 . . . 4 (( I β†Ύ β„€):℀–1-1-ontoβ†’β„€ β†’ ( I β†Ύ β„€):β„€βŸΆβ„€)
53, 4mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ β„€):β„€βŸΆβ„€)
61, 2, 5fprodfvdvdsd 16150 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
72sselda 3942 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 fvresi 7113 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) = π‘₯)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) = π‘₯)
109eqcomd 2743 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ = (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯))
112sseld 3941 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ β„€))
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ β„€))
1312imp 407 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
14 fvresi 7113 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜) = π‘˜)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜) = π‘˜)
1615eqcomd 2743 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ = (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
1716prodeq2dv 15740 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
1810, 17breq12d 5116 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ ↔ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜)))
1918ralbidva 3170 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜)))
206, 19mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3908   class class class wbr 5103   I cid 5527   β†Ύ cres 5632  βŸΆwf 6487  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6490  β€˜cfv 6491  Fincfn 8816  β„€cz 12432  βˆcprod 15722   βˆ₯ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-prod 15723  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  absproddvds  16427
  Copyright terms: Public domain W3C validator