Theorem fproddvdsd 16359

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fproddvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fproddvdsd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fproddvdsd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
3		f1oi 6861	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4		f1of 6823	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
6	1, 2, 5	fprodfvdvdsd 16358	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
7	2	sselda 3963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		fvresi 7170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
11	2	sseld 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
13	12	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		fvresi 7170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
16	15	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
17	16	prodeq2dv 15943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
18	10, 17	breq12d 5137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
19	18	ralbidva 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
20	6, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   I cid 5552   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  Fincfn 8964  ℤcz 12593  ∏cprod 15924   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-prod 15925  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  absproddvds  16641