Theorem fproddvdsd 15543

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fproddvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fproddvdsd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fproddvdsd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
3		f1oi 6479	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4		f1of 6442	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
6	1, 2, 5	fprodfvdvdsd 15542	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
7	2	sselda 3853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		fvresi 6757	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
11	2	sseld 3852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
12	11	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
13	12	imp 398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		fvresi 6757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
16	15	eqcomd 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
17	16	prodeq2dv 15136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
18	10, 17	breq12d 4939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
19	18	ralbidva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
20	6, 19	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3083   ⊆ wss 3824   class class class wbr 4926   I cid 5308   ↾ cres 5406  ⟶wf 6182  –1-1-onto→wf1o 6185  ‘cfv 6186  Fincfn 8305  ℤcz 11792  ∏cprod 15118   ∥ cdvds 15466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-sup 8700  df-oi 8768  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-clim 14705  df-prod 15119  df-dvds 15467

This theorem is referenced by:  absproddvds  15816