MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddvdsd 16152
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddvdsd.f (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
Assertion
Ref Expression
fproddvdsd (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem fproddvdsd
StepHypRef Expression
1 fproddvdsd.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
2 fproddvdsd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„€)
3 f1oi 6818 . . . 4 ( I β†Ύ β„€):℀–1-1-ontoβ†’β„€
4 f1of 6780 . . . 4 (( I β†Ύ β„€):℀–1-1-ontoβ†’β„€ β†’ ( I β†Ύ β„€):β„€βŸΆβ„€)
53, 4mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ β„€):β„€βŸΆβ„€)
61, 2, 5fprodfvdvdsd 16151 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
72sselda 3943 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 fvresi 7114 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) = π‘₯)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) = π‘₯)
109eqcomd 2744 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ = (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯))
112sseld 3942 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ β„€))
1211adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ β„€))
1312imp 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
14 fvresi 7114 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜) = π‘˜)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜) = π‘˜)
1615eqcomd 2744 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ = (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
1716prodeq2dv 15741 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜))
1810, 17breq12d 5117 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ ↔ (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜)))
1918ralbidva 3171 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘₯) βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (( I β†Ύ β„€)β€˜π‘˜)))
206, 19mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βˆ₯ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘˜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063   βŠ† wss 3909   class class class wbr 5104   I cid 5528   β†Ύ cres 5633  βŸΆwf 6488  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6491  β€˜cfv 6492  Fincfn 8817  β„€cz 12433  βˆcprod 15723   βˆ₯ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-prod 15724  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  absproddvds  16428
  Copyright terms: Public domain W3C validator