Theorem fproddvdsd 16369

Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddvdsd.f	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
fproddvdsd	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fproddvdsd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fproddvdsd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℤ)
3		f1oi 6887	. . . 4 ⊢ ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4		f1of 6849	. . . 4 ⊢ (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
5	3, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
6	1, 2, 5	fprodfvdvdsd 16368	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
7	2	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8		fvresi 7193	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
10	9	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
11	2	sseld 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ ℤ))
13	12	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		fvresi 7193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
16	15	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
17	16	prodeq2dv 15955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
18	10, 17	breq12d 5161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
19	18	ralbidva 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
20	6, 19	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   I cid 5582   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  ℤcz 12611  ∏cprod 15936   ∥ cdvds 16287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  absproddvds  16651